ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Тема 2.ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.
Угрозов Валерий Вячеславович

Потоки платежей
Финансовые контракты могут предусматривать не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр.
Поток платежей представляет собой ряд последовательных выплат и поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления - положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма- S и современная величина-A

Наращенная сумма потока платежей
Наращенная сумма потока платежей (S) - это сумма всех членов последовательности платежей R с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Логика финансовых операций по определению величины наращенной суммы потока платежей - S отражена на рис. 3.1. В качестве S может выступать итоговый размер создаваемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общая сумма задолженности.
Рис. 3.1. Схема формирования наращенной суммы S потока платежей

Современная величина потока платежей
Современная величина потока платежей (А) - сумма всех его членов R, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или предшествующих ему. Логику финансовых операций по определению современной суммы A величины потока платежей легко понять из рис.3.2. Современная величина A может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки и пр.
Рис. 3.2. Схема дисконтирования потока платежей (получения их современной суммы A)

Основные параметры финансовой ренты
Финансовой рентой (или аннуитетом) называют поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
- член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа,
- период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами,
- срок ренты (n) – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода,
- процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент.
1) От продолжительности периода ренты:
годовые – ренты выплачиваются один раз в год (p = 1) ,
р-срочные – выплата рент производится р раз в год (p > 1) равными платежами R.
2) По числу начислений процентов - m :
с начислением один раз в год (m = 1),
с начислением т раз в год (m > 1),
ренты с непрерывным начислением.
3) По величине членов различают:
постоянные имеют равные члены, когда величина каждого платежа остается неизменной во времени (R = const) ;
переменные ренты – размер платежей может быть произвольным (R = var) или изменяться по какому-либо математическому закону.
4) По вероятности выплаты членов :
верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита;
условные ренты - выплата зависит от наступления некоторого случайного события. Число ее членов заранее неизвестно.

5)По числу членов : ограниченные - с конечным и заранее известным числом членов ; бесконечные (вечные) – число членов ренты заранее неизвестно. Например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.
6) В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту: немедленные – начало действия контракта начинается сразу после его подписания, отложенные или отсроченные – начало действия контракта сдвигается на более поздние сроки.
7) По моменту выплаты платежей выделяется два вида рент: обычные (постнумерандо) - платежи осуществляются в конце каждого периода (наиболее часто встречаются); авансовые (пренумерандо) - выплаты производятся в начале каждого периода.

Формулы наращенной суммы S для финансовых рент
Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i ) n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение (n -1) года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометричес-кой прогрессии:S=R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i)n-1 ,в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Отсюда:
S = R*sn;i , (3.1)
где s n;i = [(1+i)n -1]/i - коэффициент наращения ренты. S зависит от срока ренты n и уровня процентной ставки i.

Пример 3.1. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,R = 10 000 000 руб.,m =1, i = 0,10 .Найти S = ?
Решение Вычисления производится по формуле для обычной годовой ренты по формуле (3.1) S = 10 000 000*[(1+ 0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.

Годовая рента c начислением процентов т раз в году.
Платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году, то каждый раз применяется ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:R(1+ j /m)m*(n -1) , R(1+ j /m)m*(n-2) , . . . , R .Если читать последнюю формулу справа налево, то можно увидеть геометрическую прогрессию, у которой R - первый член, (1+j/m )m –знаменатель и n - число членов. Сумма членов этой прогрессии представляет собой наращенную сумму ренты:
S = R [(1 + j / m) m*n -1] / [(1 + j / m)m -1] (3.2)

Пример 3.2. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,m = 4,R = 10 000 000 руб.,
j = 0,10 .Найти S = ?
Решение.
Вычисления производится по формуле (3.2) для годовой ренты с начислением процентов 4 раза в году : S = 10 000 000*[(1+0,1/4) (3*4) - 1] / [(1+0,1/4)4 - 1] = 33 222 157,88 руб.

Рента р - срочная, с начислением процентов один раз в год (m = 1).
Рента выплачивается р раз в году равными платежами, проценты начисляются один раз в конце года m=1. Пусть R - годовая сумма платежей, тогда R/p - размер отдельного платежа.
Последовательность платежей с начисленными до конца срока- n процентами-i представляет собой геометрическую прогрессию вида: R/p*(1+i)n-1/p R/p*(1+i)n-2/p ,…,R/p. Наращенная сумма такой ренты- S будет равна сумме членов этой геометрической прогрессии, записанной в обратном порядке, у которой R/p - первый член, (1+i)/p знаменатель, n*р - общее число членов, а сама S равна
S = R*s(p)n;i , (3.3)
где s(p)n;i = - коэффициент наращения p-
срочной ренты при m =1.

Пример 3.3. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,m = 1,R = 10 000 000 руб., p = 4,i = 0,10.
Найти S = ?
Решение Вычисления проведем по формуле (3.3):
S = (10 000 000/4)*[(1+0,1)3 - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 60,35 руб.

Рента р - срочная, когда число платежей совпадает с начислением процентов (р = т).
Воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год, тогда получаем: (3.4)

Пример 3.4. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,p = m = 4,R = 10 000 000руб.,
j = 0,10.
Найти S = ?
Решение. Вычисления произведем по формуле (3.4):
S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ( З x 4 ) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.

Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай).
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами -s1=R/p*(1+j/m)m*(n-1/p).Второй член ренты к концу срока возрастет до s2= R/p*(1+j/m)m*(n-2/p) и т.д. Последний член этой геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов n*т.Соответственно наращенная сумма рассчитывается по формуле:
S =s1+s2+…+snp = (3.5)

Пример 3.5. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года, m = 12,R = 10 000 000 руб.,
p = 4, j = 0,10 .Найти S = ?
Решение.
Вычисляя по формуле (3.5) находим:
S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4) (3х4) -1] / [(1+0,10/4) (12/4) -1] =34 529 637,96 руб.

Определение величины отдельного платежа простой ренты - R.
I. Известна величина наращенной суммы-S , а также процентная ставка I и количество выплат n.
Величина отдельного платежа- R по схеме постнумерандо. (3.6)
Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.7)

Пример 3.6. Через 3 года на расчетном счете необходимо иметь 10 млн руб. Определить размер ежегодных платежей : а) в конце года (постнумерандо);в) в начале года - пренумерандо по сложной процентной ставке 12% годовых.
Дано: n = 3 года,S = 10 000 000 руб.,i = 0,12 .
Найти Rпо и Rпр= ?
Решение.
а) Вычисляя по формуле (3.6)находим: Rпо= 10 000 000*0,12/[(1+0,12)3 -1] = 2 963 489,81 руб.
в) Вычисляя по формуле (3.7) находим: Rпр = (10 000 000*0,12)/[(1+0,12)((1+0,12)3 -1)] = 2 645 973,04 руб.

II-й случай. Определение величины отдельного платежа простой ренты при известной современной стоимости A.
Известна современная стоимость- A, процентная ставка- i,количество выплат- n.
Величина отдельного платежа по схеме постнумерандо. (3.8)
Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.9)

Пример 3.7. Предприниматель взял кредит в размере 10 млн руб. сроком на 3 года под 14% годовых. Рассчитать размер ежегодных погасительных платежей, если они будут выплачиваться a) в конце года ; b)в начале года
Дано: n = 3 года,A = 10 000 000 руб.,i = 0,14 .
Найти Ra и Rb = ?
Решение.
а) Вычисляя по формуле (3.8) находим: Ra= (10 000 000*0,14)/[1-1/(1+0,14)3] = 4 307 314,80 руб.
b) Вычисляя по формуле (3.9) находим:
R = (10 000 000*0,14)/[(1+0,14)(1-/(1+0,14)3)] = 3 778 346,32 руб.

Определение срока простой ренты - n
I-й случай. Известна наращенная сумма-S , процентная ставка-i , отдельный платеж -R
Срок простой ренты при платежах по постнумерандо. (3.10)
Срок простой ренты при платежах по пренумерандо. (3.11)

Пример 3.8. На момент окончания финансового соглашения заемщик должен выплатить 30 000 000 руб. Платежи размером 5 000 000 руб. поступают ежегодно в конце года, с начислением по сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты a)постнумерандо;в)пренумерандо
Дано:R = 5 000 000 руб.,S = 30 000 000 руб.,
i = 0,15 .Найти na и nb= ? Решение.
a) По формуле (3.10) находим:
na = ln (1+30 000 000*0,15/5 000 000) / ln(1+0,15) = 4,59 года.
в) По формуле (3.11) находим: nв = ln(1+30 000 000*0,15/(5 000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 4,14 года.

2-й случай. Определение срока простой ренты n при известной современной стоимости ренты A
Известна современная стоимость- A, отдельный платеж ренты – R, процентная ставка- i.
Определение срока простой ренты при платежах по постнумерандо: (3.12)
Определение срока простой ренты при платежах по пренумерандо (3.13)

Пример 3.9. Организация взяла кредит в размере 30 000 000 руб. с условием погашения ежегодными платежами по 6 000 000 руб. и начислением по сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты при погашении: a) в конце года (постнумерандо); b) в начале года (пренумерандо)
Дано: A = 30 000 000 руб., R = 6 000 000 руб.,
i = 0,15. Найти na и nb = ?
Решение.
a)Вычисляя по формуле (3.12) находим: n = - ln (1-30 000 000*0,15/6 000 000) / ln(1+0,15) = 9,92 года.
a)Вычисляя по формуле (3.13) находим
n = -ln (1-30 000 000*0,15/(6000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 7,56 года.

Современная величина A обычной годовой финансовой ренты.
Если член годовой ренты равен R, процентная ставка i, срок ренты n и проценты начисляются один раз в конце года. Тогда a1,a2,…an- приведенные к началу ренты величины первого, второго и т.д. платежей :
где - дисконтный множитель.
Приведенные величины-a1,a2,…,an- образуют геометрическую прогрессию, сумма которой равнаA:
(3.14)
где - коэффициент приведения ренты.

Пример 3.10. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года (p = 1) поступает по 10 млн руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной процентной ставке в 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.
Дано:n = 3 года, m = 1,R = 10 000 000 руб,
p = 1, j = 0,10. Найти A = ?
Решение.
Вычисляя по формуле (3.14) получим :
А = 10 000 000*[1 - (1+0,1) -3]/0,1 = 24 868 519,91 руб.

Современная величина р-срочной финансовой ренты с произвольными значениями p ≥ 1 и m ≥ 1.
Формула (3.15) является общей для нахождения современной величины ренты, когда р и т могут принимать произвольные значения (3.15)

Пример 3.11. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал). Ежемесячное дисконтирование (m=12) производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.
Дано:n = 3 года,m = 12, R = 10 000 000 руб.,p = 4,
j = 0,10 .Найти S = ?
Решение
Вычисляя по формуле (1.37) получим:
А = (10 000 000/4)*[1 - (1+0,1/12) (-3*12)] /[(1+0,1/12)](12/4) -1] = 25 612 003,42 руб.