Формула Бернулли

Pn(k)=Ckn pk(1-p)n-k
Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(k) того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:
Т
Формулировка теоремы
Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.

Историческая справка
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ
(1654–1705)
Дата рождения: 27 декабря 1654г.
Место рождения: Базель
Дата смерти: 16 августа 1705г.
Место смерти: Базель
Гражданство: Швейцария
Научная сфера: Математик
Место работы: Базельский университет
Науч. рук.: Лейбниц
Якоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарский математик, брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687).
Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении вариационного исчисления, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами.
Якобу Бернулли принадлежат также работы по физике, арифметике, алгебре и геометрии.

Пример использования формулы Бернулли
Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.
РЕШЕНИЕ:
Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене.
Искомая вероятность рассчитывается
по формуле Бернулли
P6(3) = C36(3/4)3(1/4)3 = 0,13

Проверь себя
В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
ОТВЕТ:
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
ОТВЕТ:
РЕШЕНИЕ:
РЕШЕНИЕ:
Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.
Игральный кубик бросается 3 раза. Какова вероятность того, что в этой серии испытаний 6 очков появятся ровно 2 раза?
0,01389
8/27
0,9477

Проверь себя
Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.
ОТВЕТ:
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
РЕШЕНИЕ:
Пусть всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?
0,124
0,344

Вероятность извлечения белого шара
p=20/30=2/3
можно считать одной и той же во всех испытаниях;
1-p=1/3
Используя формулу Бернулли, получаем
P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2
Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е.
P(A)=P4(3)+P4(4)
P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94 = 0,93 (0,4+0,9)=0,9477

Пусть А - появление 6 очков в одном испытании. Событие А в каждом из четырех независимых испытаний может произойти, а может и не произойти.
Известно, что p= Р(А)=1/6
Тогда, согласно формуле Бернулли получим
P3(2)=C23(1/6)2(1-1/6)3-2=3∙1/36∙5/6=3/216≈0,01389
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4
Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза:
P(A)=P6(0)+P6(1)+P6(2)
P(A)= C06(1/2)0(1/2)6+C16(1/2)1(1/2)5+C26(1/2)2(1/2)4=0,344

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 5
Известно, что P=0,9, по формуле Бернулли рассчитаем искомую вероятность:
P7(5)=C57 0,95 (1-0,9)2 =21∙0,59049∙0,01=0,124