Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, который основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.
1646г – 1716г
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

y=kx
k =
x
y
=
противолежащий катет
прилежащий катет
=
tg a
a
y
x
y
x
o

k =
tg a
k – угловой коэффициент прямой
а –угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс
a
x
o
a
y

y=f(x)
a
x
y
x
M
B
C
A
x+h
f(x)
f(x+h)
f(x+h) – f(x)
h
k(h) = tg < MAC =
MC
AC
=
f(x+h) – f(x)
x
x+h –
a
o

y=f(x)
a
x
y
x
M
B
C
A
x+h
f(x)
f(x+h)
f(x+h) – f(x)
h
Если h
0, тогда М
А
Прямая MA стремиться занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции
y=f(x)

f(x+h) – f(x)
x
x+h –
=
lim k (h)
f ' (x)
k =
tg a
f ' (x)
=
h
0
Значение производной в точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке

k =tga = f'(x ) < 0
k =tga = f'(x ) = 0
k =tga = f'(x ) > 0
Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует.

y=f(x)
x0
y
x
B
М
f(x0)
a
o
Выведем уравнение касательной к графику дифференцированной функции в точке (х0; f(x0))

y=kx +b
k =
tg a
f ' (x)
=
y=f' (x0 )x+ b
Т.к. касательная проходит через точку с координатами
(х0; f(x0)) , подставим ее координаты в уравнение (2) и найдем b
(1)
(2)
f(x0)=f' (x0 )x0+ b
b =f(x0) – f' (x0 )x0
Подставьте в уравнение (2) значение b и сделав соответствующие преобразования получите:
у = f(x0) + f '(x0)(х – х0)