Геометрический смысл производной

Слайд 2

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, который основываясь на

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, который основываясь
результатах Ферма и некоторых других выводах, значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.


1646г – 1716г

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

Слайд 3

y=kx

k =

x

y

=

противолежащий катет

прилежащий катет

=

tg a

a

y

x

y

x

o

y=kx k = x y = противолежащий катет прилежащий катет = tg

Слайд 4

k =

tg a

k – угловой коэффициент прямой

а –угол между прямой и

k = tg a k – угловой коэффициент прямой а –угол между
положительным направлением оси абсцисс

a

x

o

a

y

Слайд 5

y=f(x)

a

x

y

x

M

B

C

A

x+h

f(x)

f(x+h)

f(x+h) – f(x)

h

k(h) = tg < MAC =

MC

AC

=

f(x+h) – f(x)

x

x+h –

y=f(x) a x y x M B C A x+h f(x) f(x+h)

a

o

Слайд 6

y=f(x)

a

x

y

x

M

B

C

A

x+h

f(x)

f(x+h)

f(x+h) – f(x)

h

Если h

0, тогда М

А

Прямая MA стремиться занять положение

y=f(x) a x y x M B C A x+h f(x) f(x+h)
некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции

y=f(x)

Слайд 7

f(x+h) – f(x)

x

x+h –

=

lim k (h)

f ' (x)

k =

tg

f(x+h) – f(x) x x+h – = lim k (h) f '
a

f ' (x)

=

h

0

Значение производной в точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке

Слайд 8

k =tga = f'(x ) < 0

k =tga = f'(x ) =

k =tga = f'(x ) k =tga = f'(x ) = 0
0

k =tga = f'(x ) > 0

Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует.

Слайд 9

y=f(x)

x0

y

x

B

М

f(x0)

a

o

Выведем уравнение касательной к графику дифференцированной функции в точке (х0; f(x0))

y=f(x) x0 y x B М f(x0) a o Выведем уравнение касательной

Слайд 10

y=kx +b

k =

tg a

f ' (x)

=

y=f' (x0 )x+ b

Т.к. касательная

y=kx +b k = tg a f ' (x) = y=f' (x0
проходит через точку с координатами
(х0; f(x0)) , подставим ее координаты в уравнение (2) и найдем b

(1)

(2)

f(x0)=f' (x0 )x0+ b

b =f(x0) – f' (x0 )x0

Подставьте в уравнение (2) значение b и сделав соответствующие преобразования получите:

у = f(x0) + f '(x0)(х – х0)

Имя файла: Геометрический-смысл-производной.pptx
Количество просмотров: 181
Количество скачиваний: 0