Геометрическое исследование решений ограниченной задачи трех тел

Геометрическое исследование решений ограниченной задачи трех тел
Прикладные аспекты
Излагается геометрическая интерпретация решения ограниченной проблемы трех тел, полученного М.Л. Лидовым. Представление этого решения в специально выбранных цилиндрической и сферической системах координат открывает возможность придать ему более наглядную форму и сделать прозрачной его топологическую структуру.
Дальнейший анализ с использованием разделения переменных позволяет лучше продемонстрировать роль начальных условий движения КА, что облегчает переход к прикладным аспектам, связанным с проектированием высоко-апогейных орбит КА с длительным временем существования с учетом возмущений от Луны и Солнца и конечного радиуса Земли.
В качестве примера проводится анализ эволюции элементов орбиты и времени существования семейства орбит КА серии "Прогноз" и орбит КА проекта "Кластер" (Европейского Космического Агентства).

М. Л. Лидов. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел.
Искусственные Спутники Земли. 1961. Вып. 8. С. 5-45

Интегралы
пространственной двукратно-осредненной ограниченной круговой задачи трех тел, полученные М. Л. Лидовым
a = const;
c1 = ε cos2i;
c2 = (1-ε) (2/5- sin2ω sin2i).
a - большая полуось орбиты ИСЗ;
ε = 1 - e 2, e - эксцентриситет;
i - наклонение орбиты ИСЗ к плоскости орбиты возмущающего тела;
ω - аргумент перигея, измеренный от линии узлов на плоскости возмущающего тела.

Системы координат,
используемые для геометрических исследований
полярный радиус - наклонение i (0 <= i <= 90°);
полярный угол - аргумент перигея ω (0 <= ω <= 360°);
координата z - параметр ε (0 <= ε <= 1).
Цилиндрическая:
Сферическая:
радиус - параметр ε (0 <= ε <= 1) ;
ко-широта - наклонение i (0 <= i <= 180°);
долгота - аргумент перигея ω (0 <= ω <= 360°).

Семейство поверхностей c1= const (0,0.8,0.2)
а) сечение плоскостью ω = 0, 180°; б) плоскостью ω = 90°, 270°
в) плоскость ε = 1
а
в
б
Геометрическое исследование в цилиндрической системе координат

Линии с2=const на поверхности с1= 0
(плоскость, перпендикулярная к плоскости эклиптики)
Здесь и далее линия с2 = 0 показана красным цветом
Линии c2 < 0 - зеленым цветом
Линии c2 > 0 - голубым
← Развертка поверхности цилиндра ( вид изнутри)
↓ Дно цилиндра ( ε= 0)

Линии с2=const на поверхности: с1= 0.05
а) картинная плоскость ω = 0, 180°; б) ω = 90°, 270°
в) вид сверху
а
б
в

Линии с2=const на поверхности: с1= 0.2
а) картинная плоскость ω = 0, 180°; б) ω = 90°, 270°
в) вид сверху
а
б
в

Семейство поверхностей c1= const (0,0.8,0.2)
Показаны сечения двумя плоскостями: ω=0, 180°; ω=90 °, 270°
Геометрическое исследование в сферической системе координат

Линии с2=const на поверхности с1= 0
(плоскость, перпендикулярная к плоскости эклиптики)
Здесь и далее линия с2 = 0 показана красным цветом
Линии c2 < 0 - зеленым цветом
Линии c2 > 0 - голубым

Линии с2=const на поверхностях c1= const
(при с1 = 0.05, 0.4, 0.6, 0.8)
Картинные плоскости: а) ω= 90°, 270°; б) ω = 0, 180°
а
б

Линии с2=const на поверхностях: с1= 0.05, 0.2

Линии с2=const на поверхности с1= 0.4

Геометрическое исследование эволюции орбит ИСЗ серии ПРОГНОЗ

Учет конечных размеров центрального тела
Баллистическое существование реальных ИСЗ прекращается при их соударении с центральным телом (Землей), имеющим конечный радиус R. Принимая минимальное значение высоты перигея Rp = R, получаем минимальное значение параметра ε min:
Ra = 2a - R; e = 1-R/a; ε min = 1 - (1-R/a)2.
Для орбит серии ПРОГНОЗ ε min = 0.12.
На последующих рисунках минимальное значение ε показано черной окружностью .

Время существования
ИСЗ серии ПРОГНОЗ 1 - 8 (1972 - 1987)*
* Эти расчеты были выполнены в 1980
в Астрономическом Институте Чешской Академии Наук
Показана эволюция высоты перигея (км) в функции времени с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца

Соотношения между угловыми элементами орбиты измеряемыми относительно плоскостей земного экватора и эклиптики
cos ie = cos Ω sin i sin δ + cos i cos δ ,
ωe = ω - Δωe,
cos Δωe = (sin i cos δ - cos Ω cos i sin δ )/sin ie,
знак sin Δωe совпадает со знаком sin Ω ,
i, ie - наклонение, ω, ω e - аргумент перигея,
Ω - прямое восхождение восходящего узла,
δ - угол между плоскостями эклиптики и земного экватора.

Соотношения между угловыми элементами орбиты измеряемыми относительно плоскостей земного экватора и эклиптики (продолжение)
Зависимость ie
от Ω при i = 65°
Зависимость Δωe
от Ω при i = 65°

Зависимость Ω от долготы точки старта, даты и времени старта
Ω = λ + S0 + ωE UT
λ - географическая долгота точки старта,
S0 - звездное время в гринвичскую полночь даты старта,
ωE - угловая скорость собственного вращения Земли,
UT - время старта

Начальные значения орбитальных элементов
и константы с1, с2
для орбит ИСЗ ПРОГНОЗ № 3, 4, 5, 7, 8
(c1< 0.001)

Начальные значения орбитальных элементов
и константы с1, с2
для орбит ИСЗ ПРОГНОЗ № 1, 2, 6, 10, 12
(0.07 > c1 > 0.01)

Линии с2 для орбит ИСЗ Прогноз 2-8 и 10, объединенных одинаковыми значениями c1
а) с1 = .00034
б) с1 = .068
Здесь и далее геоцентрическое расстояние перигея использовано в качестве радиуса в сферической системе координат Rp = a (1-e2) / (1+e).

Линии с2 для орбит ИСЗ ПРОГНОЗ 1, ИНТЕРБОЛ и CLUSTER II (ESA/NASA)
а) с1 = .01
б) Cluster II, с1=.07, с2=.17
Положение начальной точки на линии с2 показано кружочком, направление обхода - стрелкой

Высота перигея
Аргумент перигея
Наклонение
Прямое восхождение восходящего узла
ПРОГНОЗ 6
Эволюция элементов орбиты на интервале времени (22.09.1977- 1.01.2013)
Численный расчет эволюции элементов орбиты с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца
Значения аргумента перигея и наклонения показаны как относительно плоскости земного экватора так и относительно плоскости эклиптики (линии красного цвета)

Высота перигея
Аргумент перигея
Наклонение
Прямое восхождение восходящего узла
ИНТЕРБОЛ 1
Эволюция элементов орбиты на интервале времени (03.08.1995- 16.10.2000)
Численный расчет эволюции элементов орбиты с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца
Значения аргумента перигея и наклонения показаны как относительно плоскости земного экватора так и относительно плоскости эклиптики (линии красного цвета)

Заключение
Разработан метод геометрического анализа решения ограниченной проблемы трех тел, полученного М.Л. Лидовым.
Представлены результаты анализа топологической структуры частных решений, ориентированные на использование при проектировании высоко-апогейных орбит.
Наглядно показано, что периодические решения, реализующиеся при C2 < 0, характеризуются колебаниями линии апсид около значений аргумента перигея 90° (или 270°) с амплитудой строго меньшей 90°.
Проведен анализ обит ИСЗ серии ПРОГНОЗ и проекта CLUSTER II (ESA/NASA), позволяющий установить связь между начальными параметрами орбит и временем их существования
На основе численного интегрирования с использованием полной математической модели движения ИСЗ с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца дана оценка эффективности аналитического метода, используемого при проектировании орбит.
Выработаны рекомендации по выбору высоко-апогейных орбит с длительным временем существования.

Благодарность
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность профессору Б.И. Рабиновичу за ценные советы и полезные обсуждения в процессе выполнения этой работы.