Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера
Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:
.
…
(2.1)

Введем матрицы:
– матрица системы из
коэффициентов при неизвестных,
– вектор-столбец неизвестных,
– вектор-столбец свободных членов.

Системе (2.1) соответствует матричное уравнение
. (2.2)

Другой разновидностью формы решения (2.3)
является формула Крамера
, (2.5)
,
где Δ – главный определитель системы (2.1);
– номера столбцов;
– определитель, полученный
путем замены в главном
определителе системы (Δ)
столбца коэффициентов при
неизвестном xj столбцом
коэффициентов свободных
членов (B).

2.3. Метод Гаусса
Для простоты рассуждений ограничимся
рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя
неизвестными
1)
2)
3)
4)
(2.7)
,
,
,
.
Изложим последовательность операций
при прямом ходе.

Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений
№ 2, 3 системы (2.9).
(2.11)
.

Третий шаг. Разделим первое уравнение
системы (2.12) на ведущий элемент , что дает
(2.13)
.

Таким образом, исходную систему (2.7) удалось
привести к эквивалентной системе с треугольной
матрицей:
(2.15)
.
,
,
,

Обратный ход связан с последовательным
переходом от последнего уравнения системы (2.15)
к первому, в процессе которого осуществляется
непосредственный расчет значений x:
(2.16)
.
,
,
,

(2.21)
.
Определитель матрицы A равен произведению
«ведущих» элементов в схеме Гаусса:
(2.22)
.

2.4. Метод простой итерации
для решения систем линейных уравнений
Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:
.
…
(2.23)
,
,

Эквивалентная система уравнений:
,
…
(2.24)
,
,
где
;
при
и
(2.25)

Итерационный процесс для системы (2.24):
(2.27)
где k – номер итерации.
Для сходящегося процесса решением является
,
.
(2.28)

Условие сходимости:
(2.39)
,
т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого
уравнения больше суммы модулей его недиагональных
коэффициентов.
Условие завершения итерационного процесса:
.
(2.44)

2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем
Метод Зейделя представляет собой некоторую
модификацию метода простой итерации.
Считаем, что дана линейная система, приведенная
к итерационному виду (2.24):
.
(2.62)

Полагаем, что найдено k-е приближение
всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е
приближение корней будет определяться по следующим
формулам:
,
,
,
…
,
…
,
.
(2.63)