Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Февраль 15, 2021

Главная
Разное
Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Содержание

2. 2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными: . … (2.1)
3. Введем матрицы: – матрица системы из коэффициентов при неизвестных, – вектор-столбец неизвестных, – вектор-столбец свободных членов.
4. Системе (2.1) соответствует матричное уравнение . (2.2)
5. Другой разновидностью формы решения (2.3) является формула Крамера , (2.5) , где Δ – главный определитель
6. 2.3. Метод Гаусса Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными 1) 2)
8. Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений № 2, 3 системы (2.9). (2.11) .
9. Третий шаг. Разделим первое уравнение системы (2.12) на ведущий элемент , что дает (2.13) .
10. Таким образом, исходную систему (2.7) удалось привести к эквивалентной системе с треугольной матрицей: (2.15) . ,
11. Обратный ход связан с последовательным переходом от последнего уравнения системы (2.15) к первому, в процессе которого
12. (2.21) . Определитель матрицы A равен произведению «ведущих» элементов в схеме Гаусса: (2.22) .
13. 2.4. Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:
14. Эквивалентная система уравнений: , … (2.24) , , где ; при и (2.25)
15. Итерационный процесс для системы (2.24): (2.27) где k – номер итерации. Для сходящегося процесса решением является
16. Условие сходимости: (2.39) , т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого уравнения больше суммы модулей его недиагональных
17. 2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации.
18. Полагаем, что найдено k-е приближение всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е приближение корней будет определяться по
20. Скачать презентацию

Слайд 2

2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера
Имеем линейную систему уравнений с n

2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными: . … (2.1)

неизвестными:

.

…

(2.1)

Слайд 3

Введем матрицы:
– матрица системы из
коэффициентов при неизвестных,
– вектор-столбец неизвестных,

Введем матрицы: – матрица системы из коэффициентов при неизвестных, – вектор-столбец неизвестных, – вектор-столбец свободных членов.

– вектор-столбец свободных членов.

Слайд 4

Системе (2.1) соответствует матричное уравнение
. (2.2)

Системе (2.1) соответствует матричное уравнение . (2.2)

Слайд 5

Другой разновидностью формы решения (2.3)
является формула Крамера

, (2.5)
,
где

Другой разновидностью формы решения (2.3) является формула Крамера , (2.5) , где

Δ – главный определитель системы (2.1);

– номера столбцов;

– определитель, полученный
путем замены в главном
определителе системы (Δ)
столбца коэффициентов при
неизвестном xj столбцом
коэффициентов свободных
членов (B).

Слайд 6

2.3. Метод Гаусса
Для простоты рассуждений ограничимся
рассмотрением системы четырех уравнений с

2.3. Метод Гаусса Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с

четырьмя
неизвестными

1)

2)

3)

4)

(2.7)

,

,

,

.

Изложим последовательность операций
при прямом ходе.

Слайд 7

Слайд 8

Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений
№ 2, 3

Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений № 2, 3 системы (2.9). (2.11) .

системы (2.9).

(2.11)

.

Слайд 9

Третий шаг. Разделим первое уравнение
системы (2.12) на ведущий элемент ,

Третий шаг. Разделим первое уравнение системы (2.12) на ведущий элемент , что дает (2.13) .

что дает

(2.13)

.

Слайд 10

Таким образом, исходную систему (2.7) удалось
привести к эквивалентной системе с

Таким образом, исходную систему (2.7) удалось привести к эквивалентной системе с треугольной

треугольной
матрицей:

(2.15)

.

,

,

,

Слайд 11

Обратный ход связан с последовательным
переходом от последнего уравнения системы (2.15)

Обратный ход связан с последовательным переходом от последнего уравнения системы (2.15) к

к первому, в процессе которого осуществляется
непосредственный расчет значений x:

(2.16)

.

,

,

,

Слайд 12

(2.21)
.
Определитель матрицы A равен произведению
«ведущих» элементов в схеме Гаусса:
(2.22)
.

(2.21) . Определитель матрицы A равен произведению «ведущих» элементов в схеме Гаусса: (2.22) .

Слайд 13

2.4. Метод простой итерации
для решения систем линейных уравнений
Имеем линейную систему

2.4. Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений Имеем линейную систему

уравнений с n неизвестными:

.

…

(2.23)

,

,

Слайд 14

Эквивалентная система уравнений:
,
…
(2.24)
,
,
где
;
при

Эквивалентная система уравнений: , … (2.24) , , где ; при и (2.25)

и

(2.25)

Слайд 15

Итерационный процесс для системы (2.24):
(2.27)
где k – номер

Итерационный процесс для системы (2.24): (2.27) где k – номер итерации. Для

итерации.

Для сходящегося процесса решением является

,

.

(2.28)

Слайд 16

Условие сходимости:
(2.39)
,
т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого
уравнения больше

Условие сходимости: (2.39) , т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого уравнения больше

суммы модулей его недиагональных
коэффициентов.

Условие завершения итерационного процесса:

.

(2.44)

Слайд 17

2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем
Метод Зейделя представляет собой некоторую

2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем Метод Зейделя представляет собой некоторую

модификацию метода простой итерации.
Считаем, что дана линейная система, приведенная
к итерационному виду (2.24):

.

(2.62)

Слайд 18

Полагаем, что найдено k-е приближение
всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е
приближение

Полагаем, что найдено k-е приближение всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е приближение

корней будет определяться по следующим
формулам:

,

,

,

…

,

…

,

.

(2.63)