Исследование тригонометрических функций

Содержание
Область определения функции
Область значения функции
Периодичность
Промежутки знакопостоянства
Четность и нечетность функций
Возрастание и убывание функций
План исследования функции
Экстремумы

Областью определения функции f(x) называют множество всех значений, которые может принимать независимая переменная x.
f(x)=2sin x+1
D(f): (- ;+ )
f(x)=tg x
D(f): x

Задание
Найдите область определения функции:
ƒ(x)=1+ ctg x
ƒ(x)=1+ sin² x
ƒ(x)=2cos(x-¶/3)

Множество, состоящее из всех чисел f(x), таких, что х принадлежит области определения функции f, называют областью значений функции F.
f(x)=1,5cosx+
E(f)=[-1,5;1,5]
f(x)=tg x
E(f)=(- ;+ )

Задание
Найдите область значений функции:
ƒ(x)=3 + 0,5 sin (x + ¶/4)
ƒ(x)=1,5 – 0,5 cos² x
ƒ(x)=1 + 2 sin x

Функцию f называют периодической с периодом Т 0, если для любого х из области определения f(х+Т)=f(x)=f(x+T).
Каким образом
по графику
определить период?
Если Т-период
функции, то при
любом целом
значении k число kT
так же является ее
периодом.

Задание
Найдите наименьший положительный период каждой из функций:
y=1/2 sin x/4
y=4 cos 2x
y=3 tg 1,5x

При каких значениях х функция принимает положительные (отрицательные) значения?
f(x)<0, если
х, принадлежит
промежутку
(П/2+2Пk;3П/2+2Пk)
f(x)>0, если
х, принадлежит
промежутку
(-П/2+2Пk;П/2+2Пk)

Задание
Найдите промежутки знакопостоянcтва:
y=-sin 3x
y=cos x/2
y=tg 2x/3

График четной функции симметричен относительно оси ординат.
(f(-x)=f(x))
На рисунке
изображен график
четной функции. Достройте график
на промежутке
(-П/2;0).
График какой
функции
получился?
f(x)=2sin|x|

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
(f(-x)=-f(x))
На рисунке
Изображен график
нечетной функции.
Достройте график
на промежутке
(-П/2;0).

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х1>х2, выполнено неравенство f(x1)>f(x2).
Определите
промежутки
возрастания
функции.
[Пk;3П/2k]
f(x)=-cosx

Функция f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х1>х2, выполнено неравенство f(x1)
Определите
промежутки
убывания
функции.
[-П+2Пk;2Пk]
f(x)=-cosx

Задание
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
y=4 cos 3x
y= 2 tg x/2
y= 0,2 sin 4x

Экстремумы функции
max f(x):
f(П/4+Пk)=1
min f(x) определи самостоятельно

Задание
Найдите экстремумы функции:
y=cos (x + ¶/4)
y=sin (x + ¶/6)
y=1 - sin (x - ¶/3)

“Чтение” графика
Область определения функции
Область значений функции
Четность (нечетность) функции
Периодичность (наименьший положительный период) функции
Точки пересечения графика с осями
Промежутки знакопостоянства
Промежутки возрастания (убывания) функции
Максимумы (минимумы)