Решение линейных уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение 2х+3=х+а.
Здесь х и а – переменные (неизвестные) величины. Переменная а при решении уравнения считается постоянной (т.е. это как бы зашифрованное число или несколько чисел) и называется параметром.
Будем в уравнении буквами х, у, z, обозначать неизвестные, буквами a, b, c, d, …. k, l, m, n – параметры.
Решить уравнение с параметром – значит указать при каких значениях параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению.

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений с параметрами.
а·х=0
где х – переменная, а – параметр.
Если а ≠0, то а·х=0
х=0:а
х=0
Если а=0, то 0·х=0, равенство будет верно при любом х, х – любое.
Ответ: а ≠0, х=0; при а=0, х – любое.

2. а·х=а, Рассмотрим возможные случаи.
1) Если а≠0, то а·х=а
х=а:а
х=1
2) Если а=0, то 0·х=0, равенство будет верно при любом значении х, х – любое.
Ответ: при а≠0, х=1; а=0, х – любое.
3. 2х+3=х+а, преобразуем уравнение к виду:
2х–х=а–3
х=а–3
Это и будем единственным решением, т.к. числовой коэффициент при а равен 1, и нет необходимости выполнять деление, поэтому при любом значении а х=а–3.
Ответ: при любом значении а х=а–3.

х+2=а·х Преобразуем уравнение.
х–а·х=–2 Вынесем общий множитель х за скобку.
х·(1–а)=–2
(1–а) ·х=–2
Рассмотрим следующие случаи.
1–а≠0
т.е. 1≠а
или а≠1, тогда х=–2/(1–а);
если 1–а=0
1=а
а=1, тогда уравнение х+2=а·х будет выглядеть
х+2=1·х
х+2=х и, очевидно, решений не имеет.
Ответ: при а≠1, х=–2/(1–а);
при а=1 решений нет.

4. (3–а) ·х=2–5а. Возможны случаи:
1) 3–а≠0, тогда х=(2–5а)/(3–а)
а≠3
3–а=0
а=3, тогда уравнение (3–а)·х=2–5а будет выглядеть
(3–3)·х=2–5·3
0·х=2–15
0·х=–13
Решений нет.
Ответ: а≠3, х=(2–5а)/(3–а);
а=3, решений нет.

(3а+7)·х=15а+35. Возможны случаи.
1) 3а+7≠0, то есть
3а≠–7
а≠–7/3
тогда х=(15а+35)/(3а+7)
х=5(3а+7)/(3а+7)
х=5.
2) 3а+7=0
3а=–7
а=–7/3, тогда уравнение (3а+7)·х=15а+35 примет вид:
(3(–7/3)+7)·х=15·(–7/3)+35
(–7+7)·х=–35+35
0·х =0 значит х – любое число.
Ответ: а≠–7/3, х=(15а+35)/(3а+7);
а=–7/3, х – любое число.