История чисел и системы счисления

Содержание
Понятие «системы счисления»
История чисел
Виды систем счисления
Непозиционные системы счисления
Позиционные системы счисления
Арабская десятичная система счисления
Развернутая запись числа
Алфавит позиционной системы счисления
Натуральный ряд чисел в позиционной системе счисления

Понятие «системы счисления»
Для того чтобы мы с вами могли считать какие-то предметы, изображать количество этих предметов определенным знаком (цифрой), либо формировать из этих знаков их комбинации (числа), нам необходимы системы счисления
Система счисления – это…
… способ записи чисел (1, 221, XIX, 10200)
и соответствующие этому способу правила действия над числами (1+1=2, 25-15=10, 2*2=4, 100/25=4)

История чисел
Еще с древних времен, когда появились различные предметы (орудия труда, камни и др.) человеку необходимо было их посчитать и записать их количество, например, для того, чтобы обмениваться находками с другими древними людьми. Для этого появилась необходимость в записи чисел. А как человек записывал числа раньше?
Количество предметов = количество каких-нибудь значков (насечек, черточек, точек)
=
Первый вычислительный инструмент – пальцы, поэтому также счет вели группами по 5 или по 10 предметов
=
Далее получили свое название десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т.д. Для удобства их стали обозначать цифрами

До нас дошла римская система счисления. Ее мы по-прежнему используем для обозначения глав, веков:
История чисел
На Руси вплоть до XVIII века использовалась система славянских цифр:
à = 1
В V веке в Индии получила свое рождение прородительница арабской системы счисления
В XII веке в Европе были переведены с арабского языка на латынь научные трактаты, из которых человек и узнал об «арабской системе счисления», которой мы и по сей день пользуемся: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Широкое распространение в науке и в обиходе арабские цифры получили только в XVI веке

Виды систем счисления
Заглянув в историю чисел мы обнаружили, что во все времена существовало большое количество разнообразных систем счисления. Но можно ли среди всего этого разнообразия выделить основные группы систем счисления? Да, можно:
Системы счисления
Непозиционные
(например:
римская – X I V M,
славянская - Ã)
Позиционные
(например:
арабская – 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

Непозиционные системы счисления
В таких системах счисления от того, где расположен знак, обозначающий конкретную цифру в записи числа, не зависит величина, которую он обозначает (не важна позиция знака, поэтому непозиционные). Ярким примером такой системы счисления является римская система счисления:
XXX=10+10+10=30
Не важно, на каком месте стоит знак X в записи числа, в любом случае он обозначает число 10
Цифры записываются слева направо в порядке убывания. Их значения складываются. Если слева стоит меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются: IV=5-1=4
1000 + (-100) + 1000 + (-10) + 100 + 5 + 1 + 1
= 1997

Позиционные системы счисления
В таких системах счисления, в отличие от непозиционных, от того, на каком месте в записи числа стоит цифра, зависит та величина, которую она обозначает:
333 – 3 сотни, 3 десятка, 3 единицы, т.е.:
Например: в арабской десятичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего таких цифр – 10, т.е 10 – основание арабской системы счисления. Поэтому ее и называют десятичной системой счисления.

Развернутая запись числа
333
100
10
Вспомним понятие степени числа:
Значит:
- развернутая запись числа 333
Основание

Алфавит системы счисления
- это множество символов (знаков, цифр), используемых для записи чисел
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при
используют n первых арабских
цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.
Если число 56 записано в десятичной системе счисления, то записывают так:

Натуральный ряд чисел в позиционной системе счисления