Итоговое повторение

Цели урока:
повторить,
систематизировать знания учащихся по пройденным темам.

Ход урока
1. Орг. момент
Проверка домашнего задания, объявление темы и целей урока.
2. Актуализация знаний учащихся
Учащиеся: 1) отвечают на теоретические вопросы; 2) заполняют пропуски в записях с последующей самопроверкой.
3. Индивидуальная работа по карточкам (3 уровня сложности)
Обсуждаются неправильные ответы. При необходимости оказывается консультация.
4. Решение задач № 467 (а), 472
Сильный ученик работает самостоятельно. Учитель контролирует работу слабого учащегося, оказывая необходимую помощь.
5. Подведение итогов и постановка домашнего задания: повторить гл. 5; задача №469.

Кто придумал вектор и скаляр?
Ввёл термины
вектор (от лат. vector – «несущий»),
скаляр (от лат. scale – «шкала»),
скалярное произведение
в 1845 году ирландский математик и астроном Уильям Гамильтон.

Ответы на вопросы:
1) Определение векторов.
2) Равные векторы. Длина вектора.
3) Коллинеарные векторы.
4) Компланарные векторы.
5) Единичный вектор.
6) Координатные вектора.
7) Разложить данный вектор по координатным векторам.
8) Найти длины векторов и .
9) Определение скалярного произведения двух векторов.
10) Свойства скалярного произведения.

Задание с пропусками в записях
а)
б)
в) и коллинеарны, значит, = …;
г) если , , – неколлинеарные векторы, то = …;
д) = …;
е) соs α = …;
ж) если ┴ , то …;
з) < 0, то угол между векторами и – …;
и) если угол между векторами и – острый, то …

Ответы на задание с пропусками
а)
б)
в) и коллинеарны, значит, , где k – некоторое число,
г) если , и неколлинеарны, то ;
д) = | | · | | · соs ( ), = ,
е) соs α = , соs α = ,
ж) если ┴ , то = 0,
з) < 0, то угол между векторами и – тупой,
и) если угол между векторами и – острый, то > 0.

Индивидуальная работа по карточкам
1 уровень
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если A(1; 1; 0), B(3; –1; 0), C(4; –1; 2), D(0; 1; 0).
2 уровень
Дано: ABCD – параллелограмм. A(–6; –4; 6),
B(6; –6; 2), C(10; 0; 4).
Найти координаты вершины D и угол между
векторами и .
3 уровень
Дано: МАВС – тетраэдр. М(2; 5; 7), А(1; –3; 2),
В(2; 3; 7), С(3; 6; 2).
Найти расстояние от точки М до точки О пересечения медиан ∆АВС.

Ответы к индивидуальным задачам
1. 150°.
2. D(–2; 2; 2), φ = 120°.
3. 5.

Решение задач
№ 467 (а).
№ 472.

Подсказки к решению задач
№ 467 (а). Решение задачи желательно записать двумя способами.
№ 472. План решения задачи:
1) ввести систему координат, найти координаты векторов
2) доказать с помощью скалярного произведения, что ┴ , ┴ .
3) сделать вывод по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, что MNQ ┴ PM.