Курс лекций по теоретической механике

Лекция 10.
Пример решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии системы. Потенциальное силовое поле.
Силовая функция.
Потенциальная энергия системы.
Закон сохранения механической энергии.

Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии для системы – Массивный бумажный
рулон радиуса R, приведенный в движение толчком, катится без проскальзывания по инерции вверх по наклонной шероховатой
плоскости под углом α к горизонту с некоторой начальной скоростью. Коэффициент трения качения fk. Определить начальную скорость
рулона, необходимую для того, чтобы он мог перевалить через вершину высотой H от начального положения.
Дано: α, fk, H, R
Найти: v0
α
1. Выбираем объект - рулон
2. Отбрасываем связи – опорную плоскость
3. Заменяем связи реакциями – N, Fтр, Mк
4. Добавляем активные силы – G
5. Записываем теорему об изменении
кинетической энергии для твердого тела:
Кинетическая энергия на вершине
равна нулю:
Работа сил, приложенных к объекту, равна:
Работа нормальной реакции равна нулю:
Работа силы тяжести:
Работа момента сопротивления качению:
Подставляем определенные величины в теорему:
Заметим, что выражение для начальной
скорости не зависит от массы рулона.
Масса рулона, как мера инертности, будет
влиять на величину усилия, которое должно быть приложено к телу, чтобы сообщить ему указанную начальную скорость.
Кинетическая энергия
в начальный момент времени
равна:
Момент инерции массы сплошного
цилиндра равен:
Угловая скорость равна:
Тогда кинетическая энергия
в начальный момент времени:
Работа силы трения скольжения равна нулю (приложена в МЦС):
Момент сопротивления качению:
Разность углов поворота рулона:
После некоторых сокращений и преобразований получаем:
Лекция 10
Потенциальное силовое поле
Силовое поле – пространство, в каждой точке которого на материальную точку действуют силы, зависящие от координат точки.
Стационарное силовое поле – действующие силы которого не зависят от времени, F = F(x, y,z) (поле силы тяжести, поле силы упругости).
Нестационарное силовое поле - действующие силы которого зависят от времени, F = F(x, y,z, t) (электромагнитное поле).
5

■ Потенциальное силовое поле – в котором существует функция, в каждой точке пространства удовлетворяющая соотношениям:
где U = U(x, y, z) – силовая функция.
Лекция 10 (продолжение – 10.2)
Силовая функция определяется с точностью до постоянной:
Основные свойства силовой функции:
Элементарная работа силы потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции:
Полная работа силы потенциального поля не зависит от траектории перемещения точки и равна разности значений
силовой функции в конечном и начальном положениях:
Следствие: Работа силы потенциального поля при перемещении точки по замкнутой траектории
равна нулю:
Потенциальная энергия системы – функция, характеризующая запас энергии (потенциальной энергии)
в данной точке потенциального силового поля.
Потенциальная энергия равна работе сил потенциального поля, действующих на материальную точку,
при ее перемещении из данного положения в начальное (нулевое). Для системы материальных точек
потенциальная энергия равна сумме работ сил потенциального поля на всех перемещениях точек системы
в начальное положение.
Величина потенциальной энергии в начальном положении принимается равной нулю: П(x0,y0,z0) = 0.
В произвольной точке потенциальная энергия является функцией координат: П(x,y,z).
Тогда по определению:
– связь потенциальной энергии с силовой функцией.
С учетом: П(x0,y0,z0) = 0 соотношение связи можно записать как разность:
Поскольку потенциальная энергия также определена с точностью до постоянной, то работа силы потенциального поля на перемещении из точки M0 в точку M равна:
Таким образом, изменение потенциальной энергии равно
и обратно по знаку изменению силовой функции. Тогда: и
6