Лекция 3. Синдромы

Изначально синдромное декодирование предназначено для обнаружения ошибок, т.е. для установления факта наличия ошибок в принимаемых кодовых комбинациях или в кодовых блоках.
Однако, в каналах с высоким отношением SNR т.е. с точной вероятностью обнаружения ошибок (Bit Error Rate), синдромное декодирование может быть расширено и для задач автоматического исправления ошибок. Это возможно, если количество синдромов не ниже числа векторов ошибок с предельным весом, определяемым кратностью исправления ошибок:
Синдром вычисляется в результате скалярного произведения в двоичном пространстве принятого блока и транспонированной проверочной матрицы:
Произведение можно детализировать:

Этот процесс достаточно просто и весьма информативно отображается схемой преобразований.
Для корректного декодирования необходимо, чтобы порождающая и проверочная матрицы однозначно соответствовали друг другу. Такое соответствие определяется условием:
В итоге структура синдрома зависит от структуры вектора ошибок:

Таким образом, можно сделать вывод что синдром – это прямая реакция на вектор ошибок.
При этом надо иметь ввиду, что один и тот же синдром может соответствовать нескольким различным векторам ошибок, что не влияет на результат обнаружения, но затрудняет автоматическое исправление ошибок.
В общем случае между матрицами G и H действует конструктивное подобие. В двух частных случаях канонических форм порождающих матриц, конструктивное подобие имеет следующий вид.
1)
2)

Проверочная транспонированная матрица.
При использовании порождающей матрицы с явно выраженными подматрицами E и P проверочная матрица должна иметь соответствующую структуру с двумя аналогичными подматрицами, в данном случае
При этом должно выполняться условие:
означающее получение нулевого синдрома при отсутствии ошибок в канале передачи.
Если в векторе синдрома s имеется хотя бы одна 1, это является признаком обнаружения ошибки.

Формирование проверочной транспонированной матрицы.
Код (7,3), N=7, K=3
На основании системы уравнений порождающих полиномов сформируем эквивалентную систему уравнений, состоящую из
N-K = 4 выражений, определяющих проверку на чётность:

Пример:
Синдромный декодер, как видно из базовой функции и структуры проверочной матрицы, можно реализовать и программно, и аппаратно.

Аппаратная реализация синдромного декодера:
Как видно из приведённой схемы, в сравнении со схемой соответствующего блокового кода, и кодер, и декодер имеют одинаковую основу.
Декодер отличается наличием дополнительных элементов проверок и выходного решающего элемента, с помощью которого формируется общий сигнал ошибок.

Мажоритарное декодирование систематических линейных блоковых кодов
Всей совокупности перечисленных условий соответствует только ограниченное количество классов кодов. Из них наиболее оптимальными являются коды на основе М-последовательности (Предельными способностями к обнаружению и исправлению ошибок при одной и той же длине кодовых слов обладают последовательности максимальной длины, или М-последовательности.).

процедуры формирования частных кодовых символов xn, n=1..7, на основе информационных символов ak, k=1..3, образуют систему выражений:
Легко показать, что наборы оценок для каждого из трех информационных символов описываются системами выражений:

Как видно из приведенных систем оценок, при оптимальном построении кода (точнее, его порождающей матрицы) количество частных оценок совпадает с весами Хэмминга строк порождающей матрицы, и каждый из кодовых символов одинаковое число раз участвует в формировании частных оценок. Данные свойства характерны для всех двоичных ЛБК класса (2K–1, K), а также для некоторых классов специально конструируемых двоичных кодов. Близкие, но несколько худшие, свойства также проявляются у укороченных классов ЛБК.