Линейные дифференциальные уравнения

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ
Определение Фундаментальная система решений – совокупность любых линейно независимых решений.
Пример
Найти фундаментальную систему решений
фундаментальная система решений
Уравнение имеет и другие фундаментальные решения, например
Решение

Определение Линейное однородное уравнение вида
y(n) + a1 ⋅ y(n – 1) + … + an – 1 ⋅ y ′ + an ⋅ y = 0 , (1)
где a1 , a2 , … , an – действительные числа
называется линейным однородным уравнением
n–го порядка с постоянными коэффициентами.
Решения уравнения (1) будем искать в виде
y = eλ x , где λ – постоянная
Левая уравнения (1) называется
линейным дифференциальным оператором
и обозначается

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
1.Постоянный множитель можно выносить за знак оператора.
2. Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций
3. Если решение однородного линейного уравнения
то
- тоже решение, т.е

ПУСТЬ
Имеем: y ′ = λ ⋅ eλ x , y ′′ = λ2 ⋅ eλ x ,
y ′′′ = λ3 ⋅ eλ x , … ,
y(n) = λn ⋅ eλ x .
Подставляем y , y ′ , y ′′ , … , y(n) в уравнение (1) и получаем:
λn ⋅ eλ x + a1 ⋅ λn – 1 ⋅ eλ x + … + an – 1 ⋅ λ ⋅ eλ x + an ⋅ eλ x = 0 ,
⇒
λn + a1 ⋅ λn – 1 + … + an – 1 ⋅ λ + an = 0 .
характеристическое уравнение
А его корни - характеристические числа
решение линейного ДУ

ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
Рассмотрим линейное однородное уравнение
2-го порядка
Теорема
Если
- фундаментальная система решений уравнения
то
- общее решение
Замечание Всякое частное решение однородного линейного уравнения – линейная комбинация частных решений, составляющих фундаментальную систему решений.
Замечание Уравнение (1) не может иметь более чем
линейно независимых частных решений.
(1)
(1)

Пусть нашли частное решение
Пусть
линейное неоднородное уравнение
Введем новую функцию
тоже частное решение
Пример
частные решения
однородное уравнение, соответствующее неоднородному
общее решение неоднородного уравнения

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения:
частное решение этого уравнения
общее решение однородного уравнения
Алгоритм
Составляем характеристическое уравнение
Находим корни характеристического уравнения
По характеру корней выписываем
частные линейно независимые решения
(частных решений будет ровно столько, каков порядок
линейного дифференциального уравнения)

λN + A1 ⋅ λN – 1 + … + AN – 1 ⋅ λ + AN = 0 .
Замечания
1) характеристическое уравнение получается из (1) заменой производных искомой функции на соответствующие степени λ, а самой функции – на λ0 = 1 .
уравнение n-й степени ⇒ оно имеет n корней, но
1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность;
2)корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены).

ТЕОРЕМА
Пусть λ – характеристический корень уравнения (1). Тогда
1) если λ – простой корень уравнения , то решением является функция
eλ x;
2) если λ – корень кратности k уравнения (1) , то решениями уравнения (1) являются функции
eλ x, x ⋅ eλ x, x2 ⋅ eλ x, …, xk – 1 ⋅ eλ x;
3) если λ = α + βi∈ℂ и λ – простой комплексный корень уравнения (1), то λ̄ = α – βi тоже является простым корнем уравнения (1), а решениями уравнения (1) являются функции
eα x ⋅ cosβx , eα x ⋅ sinβx ;
4) если λ = α + βi и λ – комплексный корень кратности k уравнения (1), то λ̄ = α – βi тоже является корнем кратности k уравнения (1), а решениями являются функции
eα x ⋅ cosβx, xeα x ⋅ cosβx, x2eα x ⋅ cosβx, …, xk – 1eα x ⋅ cosβx
eα x ⋅ sinβx, xeα x ⋅ sinβx, x2eα x ⋅ sinβx, …, xk – 1eα x ⋅ sinβx .

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
y(n) + a1(x) ⋅ y(n – 1) + … + an – 1(x) ⋅ y ′ + an(x) ⋅ y = f(x) .
Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ
y(n) + a1(x) ⋅ y(n – 1) + … + an – 1(x) ⋅ y ′ + an(x) ⋅ y = 0 ,
Тогда его общее решение будет иметь вид
y = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2 + … + Cn ⋅ yn ,
где C1 , C2 , … , Cn – произвольные постоянные.
Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ, т.е. имеет вид
y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2 + … + Cn(x) ⋅ yn ,
где C1(x) , C2(x) , … , Cn(x) – некоторые функции.

ТЕОРЕМА (О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ)
Общее решение ЛНДУ n–го порядка равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и любого частного решения ỹ(x) неоднородного уравнения, т.е. имеет вид
y(x) = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2 + … + Cn ⋅ yn + ỹ(x) ,
где y1 , y2 , … , yn –решения, соответствующего ЛОДУ

ПРИМЕР

ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
характеристическое уравнение
Два различных действительных корня
один корень
комплексно сопряженные корни

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Если корни характеристического уравнения - вещественные и различные
общее решение однородного уравнения
2. Если корни характеристического уравнения
корни комплексные
общее решение однородного уравнения

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
3. Если корни характеристического уравнения - вещественные и кратные
общее решение однородного уравнения
4. Если корни характеристического уравнения
корни комплексные
общее решение однородного уравнения
кратный корень
кратный корень

ПРИМЕР
Решение однородного уравнения
частное решение ищем в виде
общее решение неоднородного
уравнения

НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
Правая часть
- не является корнем характеристического уравнения
вид общего решения неоднородного уравнения
корень кратности
вид общего решения неоднородного уравнения
Правая часть
- не является корнем характеристического уравнения
вид общего решения неоднородного уравнения