Логарифмические уравнения

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Определение логарифма
Об истории развития логарифмов
Основные свойства логарифмов
(Формулы преобразования логарифмов)
О монотонности логарифмической функции
Логарифмические уравнения
Методы решения логарифмических уравнений
Этапы решения логарифмических уравнений
Проверь себя
Готовься к ЕГЭ

Определение
натуральным логарифмом
Далее см. интерактивный урок

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Определение и свойства
логарифма
(смотри урок-фильм)
Для продолжения урока-фильма Меню - Control – Play (Ctrl+Enter)

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Об истории развития логарифмов
Слово логарифм происходит от слияния греческих слов и переводится как отношений чисел, одно из которых является членом арифметической прогресс, а другое геометрической. Впервые это понятие ввел английский математик
Джон Непер. Кроме того, этот человек известен тем, что он первый изобрел таблицу логарифмов, которая пользовалась большой популярностью среди ученых на протяжении долгих лет.В таблицы Непера, изданные в книгах под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» и «Устройство удивительной таблицы логарифмов», вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов углов от 0 до 99 градусов.
Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с помощью выведенной Бриггсом формулы.
Изобретатели логарифмов не ограничились созданием логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. Английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные логарифмы чисел.

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Слово ЛОГАРИФМ происходит от греческих слов λσγοϕ - число и αριυμοϕ - отношение
Гимназия № 8

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Джон Непер (1550-1617)

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Первые таблицы логарифмов назывались
«Описание удивительной таблицы логарифмов»
(1614 г.) и
«Устройство удивительной таблицы логарифмов»
(1619 г.)

Середенина В.В. г.Набережные Челны

Середенина В.В. г.Набережные Челны

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Логарифмическая линейка

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Логарифм можно найти теперь с помощью ПК LOG(x) - встроенная функция языка программирования BASIC, возвращает ln x
1) x = LOG(2.7)
PRINT x
Ответ: .993124…
2) x = LOG(1)
PRINT x
Ответ: 0
3) x %= LOG(2.7)
PRINT x
Ответ: 1

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Основные свойства логарифмов
Если k=2n, то
Формулы за работой

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Область определения
Область изменения
О монотон-ности логарифми-ческой функции

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Уравнение вида
logaf(x) = logag(x)
(или сводящееся к этому виду)
называют логарифмическим

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Если f(x)>0 и g(x)>0, a>0 и a ≠ 1, то уравнение logaf(x) = logag(x)
равносильно уравнению
f(x)=g(x)
Теорема о корне
Пусть функция f(x) возрастает (или убывает) на промежутке Х, число a – любое значение функции на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке Х.
Решая уравнение, следует помнить также теорему о корне

Середенина В.В. г.Набережные Челны
4) Сколько корней имеет уравнение?
Вариант 1 Вариант 2
Ответ

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Методы решения логарифмических уравнений:
1. Потенцирование
Пример 1 Пример 1 Пример 2 Пример 1 Пример 2 Пример 3Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4
2. Введение новой переменной
Пример 1
3. Переход к новому основанию
Пример 1
4. Разные методы решения
Пример 1 Пример 1 Пример Пример 1 Пример 2
Для продолжения решения: Меню - Control - Play
Для продолжения решения: Меню - Control - Play
Для продолжения решения: Меню - Control - Play
Для продолжения решения: Меню - Control - Play

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Этапы решения уравнения
Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной Решить уравнение, выбрав метод решения
Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ
Посмотри еще один подход к решению логарифмического уравнения

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Вычисли устно:
-2
3
1/2
9
27
=
=
Ответы (щелкни)

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Реши устно уравнения:
X=27
X=27
X=27
X=8
X=2
Ответы (щелкни)

Середенина В.В. г.Набережные Челны
1) Сравни с 1 log10991098
2) Сравни с 1 log296297
меньше 1
больше 1
3) Графики уравнений отличаются или совпадают?
Ответ:
отличаются
В ОДЗ 1-го уравнения не входит точка х=0, (точка «выколота»).
Ответы (щелкни)

Середенина В.В. г.Набережные Челны
4) Сколько корней имеет уравнение?
Вариант 1 Вариант 2
Ответ

Середенина В.В. г.Набережные Челны
4) Сколько корней имеет уравнение?
В1 В2
= 1,2
1
-1
Y=1,2
Y=log2 x
y
x
y=log2 x
Y=1,2
Y=log2 x
-1
1
Ответ: 2
Ответ: 4

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Формулы преобразования логарифмов
и их использование при решении задач Примеры 1
Примеры 2
Для продолжения фильма: Ctrl + Enter

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Существует несколько методических подходов к решению логарифмических уравнений. Особенно популярным является первый подход, указанный выше.
Автор учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» А.Г. Мордкович сравнивает разные подходы к решению:
«... Второй подход заключается в следующем: не находят ОДЗ, а сразу решают уравнение f (х) = g (x). Затем все найденные корни проверяют непосредственной их подстановкой в исходное уравнение.
Чем плох первый подход? Тем, что иногда решение системы неравенств, определяющей ОДЗ уравнения, бывает весьма затруднительным, отвлекающим от основной работы — от решения уравнения. При этом часто бывает так, что уравнение
f (x) = g (x) вообще не имеет корней, так что вся работа по опережающему отысканию ОДЗ оказывается пустой тратой времени.
Бывает и так, что указанное уравнение имеет настолько простые корни, что их проверка подстановкой в исходное уравнение осуществляется легко и быстро. В таких случаях предпочтительнее второй подход.
Существует несколько методических подходов к решению логарифмических уравнений. Особенно популярным является первый подход, указанный выше.
Автор учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» А.Г. Мордкович сравнивает разные подходы к решению:
«... Второй подход заключается в следующем: не находят ОДЗ, а сразу решают уравнение f (х) = g (x). Затем все найденные корни проверяют непосредственной их подстановкой в исходное уравнение.
Чем плох первый подход? Тем, что иногда решение системы неравенств, определяющей ОДЗ уравнения, бывает весьма затруднительным, отвлекающим от основной работы — от решения уравнения. При этом часто бывает так, что уравнение
f (x) = g (x) вообще не имеет корней, так что вся работа по опережающему отысканию ОДЗ оказывается пустой тратой времени.
Бывает и так, что указанное уравнение имеет настолько простые корни, что их проверка подстановкой в исходное уравнение осуществляется легко и быстро. В таких случаях предпочтительнее второй подход.

Середенина В.В. г.Набережные Челны
А чем плох второй подход?
Тем, что мы рискуем "нарваться" на проверку подстановкой "плохих" корней. В этом случае предпочтительнее первый подход.
Хотя второй подход предпочтительнее по идейным соображениям. В принципе сначала нужно решить уравнение, затем сделать проверку. А при первом подходе, еще ничего не сделав для собственно решения уравнения, мы начинаем "подстилать соломку", находить ОДЗ, думая о возможном появлении посторонних корней и о необходимости их отсева.
Мы отдаем предпочтение третьему подходу, который, на наш взгляд, нивелирует недостатки, как первого, так и второго подходов.
План решения уравнения loga f (х) = loga g (x) заключается в следующем:
решаем уравнение f (х) = g (x); если уравнение имеет корни, то делаем проверку. Для этого составляем систему неравенств:
но не решаем ее, а проверяем найденные корни уравнения подстановкой в неравенства системы (что значительно проще).
Но, вообще говоря, тактика решения логарифмического уравнения может быть достаточно гибкой: если ОДЗ можно найти без труда, выбирайте первый подход; если с ОДЗ много возни, то выбирайте третий подход (или второй — в случае очень простых корней).»
Далее

Середенина В.В. г.Набережные Челны
Еще раз о третьем подходе к решению логарифмических уравнений

Середенина В.В. г.Набережные Челны
НЕПЕР Джон (1550-1617), шотландский математик, изобретатель логарифмов.
Потомок старинного воинственного шотландского рода. Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику. Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий. В 1590-х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал лишь в 1614 году. В конце 1620-х годов была изобретена логарифмическая линейка, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений. С помощью логарифмической линейки операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел.