Logicași calculul propozițional

Logica poate fi definită ca știință a evaluării argumentelor(raționamentelor).
Un argument în logică, este un șir de enunțuri (sau judecăți) în care ultimul enunț numit concluzie, rezultă din celelalte enunțuri,numite premize.
Exemplu (de argument). Socrate este om. Toți oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
Exemplu (de argument). Zăpada este albă. Alb este adjectiv. Deci zăpada este adjectiv.
Astfel, argumentele (raționamentele) pot fi adevărate sau false(valide sau nevalide, corecte sau incorecte ...).
Logica oferă cadrul teoretic pentru a evalua corectitudinea argumentelor.
Studiul logicii

În literatura de specialitate deseori este utilizează sinonimul “logica formală”.
Logica este o știință formală întrucât se face abstracție de conținutul raţionamentelor; acestea sânt cercetate în general.
Exemplu. x este y. y este z. Deci x este z.
Dacă acest argument este adevărat, este adevărat și argumentul cu Socrate.
Logica formală

Se numește propoziție un enunț al limbajului natural sau al unui limbaj simbolic despre care se poate spune că este adevărat sau fals.
“"Sărmanul Dionis" este o carte scrisă de Mircea Eliade”;
“Zăpada este albă”;
“3 <7”.
Exprimările care nu sunt propoziții includ adesea întrebări și comenzi – acestea nu pot fi adevărate sau false, deși pot fi inteligibile sau absurde. “Stinge lumina.”;
“Tu ești Mircea?”;
“Ești catolic?”;
“x:=2” (Limbajul Pascal).
Propoziții

Este foarte important a observa că fiecare propoziție este adevărată sau falsă în raport cu o lume posibilă (sau universul discursului).
De exemplu propoziția “orice ființă vie nu poate exista mult timp fără apă” este adevărată în lumea noastră; cine știe cum stau lucrurile în alte sisteme solare.
Sau, de exemplu, afirmația “printr-un punct la o dreaptă putem duce doar o singură paralelă” este adevărată doar în geometria lui Euclid, dar nu și în geometriile Bolyai-Lobacevski și Riemann.
Valorile de adevăr le vom nota prin “1” pentru adevăr și “0”pentru fals.
Simbolul “:” imediat după simbolul unei propoziții va fi utilizat cu sens de a explica care este conținutul propoziției.
Valoare de adevăr a unei propoziții

Negația: Posibile simboluri: non p, p, ˜p. În Pascal este operatorul “NOT”. În C++ și Java este operatorul “!”.
Conectori / operatori logici: Negația

Conjuncția: Posibile simboluri: p AND q, p&q. În Pascal este operatorul “AND”. În C++ și Java este operatorul “&&”. p ∧ q:
Disjuncția: Posibile simboluri: p OR q, p + q. În Pascal este operatorul “OR”. În C++ și Java este operatorul “||”. p ∨ q:
Conectori / operatori logici: Conjuncția. Disjuncția

Echivalența: În Pascal este operatorul “=”. În C++ și Java este operatorul “==”.
Disjuncția exclusivă: Este negația echivalenței. În Pascal: “XOR”. În Java: “ˆ”. În C++ “ˆ” este disjuncția exclusivă la nivel de bit.
Conectori / operatori logici: Echivalența. Disjuncția exclusivă

Conectorul lui Pierce: este negația disjuncției. Simboluri: p NOR q.
Conectorul lui Sheffer: Este negația conjuncției. Simboluri: “↑”, p NAND q.
Implicația: p → q: “Dacă p atunci q”. Analogie: p → q este adevărată dacă numai dacă p ≤ q.
Conectorul lui Pierce
Conectorul lui Sheffer. Implicația

Implicația este mai puțin intuitiva decât ceilalți conectori logici. Să considerăm două calculatoare, A și B, izolate de Internet și de orice rețea locală. Ele sânt conectate doar între ele. Se știe că dacă A devine infectat de viruși de calculator atunci în scurt timp și B va fi infectat.
Implicația

Implicația (p → q) constă din premisă şi concluzie.
Concluzia se mai numeşte condiție necesară pentru ipoteză.
Ipoteza la rândul său se numeşte condiție suficientă pentru concluzie.
Ele sunt legate în felul următor:
Dacă nu se îndeplineşte condiția necesară atunci nu-i ipoteza;
Dacă este ipoteza atunci este concluzia.
Exemplu. Din expresia “Nu-i fum fără foc” reiese că fumul este o condiție necesară pentru foc.
Şi de aici reiese că “Dacă este foc atunci este fum”.
Condiții suficiente şi necesare

Conectori logici în cadrul limbajului natural
Ierarhia conectorilor logici. Lista conectorilor logici în ordinea descreşterii priorității: ¬, ∧, ∨, →, ↔.

Negație corectă: X nu este tânăr și frumos.
Negație incorectă: X este bătrân și urât.
Negație corectă (absolută)

Filtrarea rezultatelor căutărilor (Google, MS Access, SQL etc.);
Expresii logice în algoritmi.
Aplicații ale conectorilor logici

Orice propoziție obținută din alte propoziții prin intermediul conectorilor logici se numeşte formulă propozițională.
Ramura logicii care se ocupă cu formule propoziționale, operațiile cu ele etc. se numeşte “logica propozițiilor” sau “calculul propozițional”.
O tautologie este o expresie care întotdeauna este adevărată. De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q.
Notații. p ⇔ q înseamnă că p ↔ q este o tautologie; p ⇒ q înseamnă că p → q este o tautologie
Formule propoziționale. Tautologii

Comutativitatea:
p ∧ q ≡ q ∧ p; p ∨ q ≡ q ∨ p
Asociativitatea:
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
Distributivitatea:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Regulile lui De Morgan:
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbția:
p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Idempotența:
p ∧ p ≡ p p ∨ p ≡ p
p ∧ 0 ≡ 0 p ∨ 0 ≡ p
p ∧ 1 ≡ p p ∨ 1 ≡ 1
Identități remarcabile

Un număr impar de negații se reduce la o singură negație. Respectiv întreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu colonizării altor planete în viitoarea sută de ani”. Adică Aurel este împotriva colonizării altor planete în viitoarea sută de ani.
Problemă (logică): Două auditorii
Într-o școală nouă, în fiecare dintre două auditorii libere poate să se afle ”Laboratorul de Fizică” sau ”Cabinetul de Informatică”. Pe ușile auditoriilor a fost instalată câte o plăcuță glumeață: pe prima ușă, plăcuța cu inscripția ”Cel puțin în una din aceste două auditorii este plasat Cabinetul de Informatică”; pe a doua ușă, ”Laboratorul de Fizică se află în alt auditoriu”. Între timp, apare o inspecție din exterior, care cunoaște doar că inscripțiile de pe plăcuțe sunt sau ambele adevărate, sau ambele false. Vă propunem să-l ajutați pe inspector să găsească, pe cale logică, unde este ”Cabinetul de Informatică”.
Probleme logice

Rezolvarea problemei logice “Două auditorii”
p: “În primul auditoriu se află Cabinetul de Informatică”;
q: “În al doilea auditoriu se află Cabinetul de Informatică”;
¬p: “În primul auditoriu se află Laboratorul de Fizică”;
¬q: “În al doilea auditoriu se află Laboratorul de Fizică”.
Afirmației de pe plăcuța unui auditoriu (primului) îi corespunde expresia logică: p ∨ q.
Afirmației de pe plăcuța celuilalt (al doilea) îi corespunde expresia logică: ¬p.
Faptul că inscripțiile de pe plăcuțe sunt sau ambele adevărate, sau ambele false înseamnă că: p ∨ q ↔¬p.
Probleme logice