Метод проекций. Проекции точки

П ′ – плоскость проекций;
А – произвольная точка пространства;
S – центр проекций;
А′ = SA ∩ П ′
S
При проецировании проецирующие лучи проходят через центр проекций – точку S . Проекция А′ точки А есть пересечение проецирующего луча SA с плоскостью проекций П ′ .
Метод проекций
SA – проецирующий луч;
А′ – проекция точки А на плоскость проекций П ′

При центральном проецировании совокупность проецирующих лучей образует коническую поверхность. При параллельном проецировании совокупность проецирующих лучей образует цилиндрическую поверхность.
Центральные
(конические)
Классификация проекций
Параллельные (цилиндрические)

Прямая задача – изобразить на чертеже положение точки. Произвольной точке пространства А на плоскости проекций соответствует ее единственное изображение – проекция А1 . Проецирование на одну плоскость проекций дает решение прямой задачи
Ортогональное проецирование

Комплексный чертеж – это изображение геометрического образа, полученное при совмещенных плоскостях проекций
Метод ортогонального проецирования:
плоскости проекций перпендикулярны между собой;
проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.
Метод Монжа
Для однозначного определения положения точки
в пространстве необходимо задать на чертеже
минимум две ее ортогональные проекции

Используются три основные взаимно перпендикулярные плоскости проекций: П1 - горизонтальная; П2 - фронтальная; П3 - профильная. Плоскостей проекций пересекаются по осям Оx, Оy, Оz декартовой системы координат
Пространственная картина
Точка в системе трех плоскостей проекций

Для перехода к комплексному чертежу пространственную модель разрезают по оси Оy и совмещают все три плоскости проекций в одну: П1 поворачивают вокруг оси Оx, П3 поворачивают вокруг оси Оz до их совпадения с П2 . Ось Оу распадается на две оси y1 и y3
O
Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина

Проецирующие лучи АА1 , АА2 , АА3 проводят перпендикулярно соответст-вующим плоскостям проекций и получают проекции точки А: горизон-тальную А1 , фронтальную А2 , профильную А3 . Точки пересечения прое-цирующих плоскостей с соответствующими осями обозначены Ах , Аy , Аz
x
z
O
Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж

x
На комплексном чертеже линии проекционной связи перпендикулярны осям координат. Линия А1 А2 ⊥Ох расположена вертикально, а А2 А3 ⊥Оz -горизонтально. При построении линии связи от А1 к А3 необходимо соблюсти равенство координатных отрезков по оси Оy : Ax A1 = Az A3
O
y3
x
z
y1
z
Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж
O

Безосный чертеж
x
Плоскости проекций принимаются неопределенными и могут перемещаться параллельно самим себе. На комплексном чертеже положение осей не указывается. Профильная проекция А3 точки А строится с помощью постоянной чертежа k
Чертеж без указания осей
называется безосным

Прямоугольные координаты точки
A(xA ,yA ,zA )
Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций - аналог декартовой системы координатных плоскостей. Координата точки есть число, выражающее ее расстояние до плоскости проекций. Точка А в пространстве имеет координаты: абсциссу XA , ординату YA , аппликату ZA

Прямоугольные координаты точки
На комплексном чертеже численные значения координат откладываются вдоль соответствующих координатных осей. Каждая проекция точки определяется двумя координатами: горизонтальная – XA и YA , фронтальная - XA и ZA , профильная - YA и ZA .
x
O

Конкурирующие точки
Конкурирующими называются точки, лежащие на
одном проецирующем луче.
x
Горизонтально конкурирующие точки А и В лежат на общем горизонтально-проецирующем луче, поэтому их горизонтальные проекции совпадают. Точка В выше точки А и расположена ближе к наблюдателю, ее горизонтальная проекция В1 будет видимой
zB > zA

Конкурирующие точки
x
Фронтально конкурирующие точки А и В отличаются только координатой y , лежат на одном фронтально-проецирующем луче, поэтому их фронтальные проекции совпадают. Ближе к наблюдателю расположена точка В, ее фронтальная проекция В2 будет видимой
A
В
yB > yA
Видима та точка, у которой больше координата

Преобразование чертежа Монжа

x1
Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П2 на новую плоскость проекций П4. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П1 (координата z) остается неизменным
Способ перемены плоскостей проекций
Чертеж:

Способ вращения вокруг проецирующей прямой
A
i
2
i
При вращении точка описывает окружность, расположенную в плоскости уровня. Если ось вращения i ⊥П2 , то на П2 траектория движения точки проецируется в натуральную величину (окружность с центром в точке i2 ) На П1 она проецируется в виде прямой, ⊥ проекции оси вращения i1
Сущность способа: геометрический образ вращают вокруг проецирую-щей оси до частного положения
Чертеж:
А – произвольная точка;

A
i
А – произвольная точка;
i ⊥ П1
i – ось вращения;
Чертеж:
При горизонтально проецирующем положении оси вращения траектория движения точки на П1 проецируется в натуральную величину, т.е. в виде окружности с центром в точке i1 . На П2 она будет проецироваться в виде прямой линии, перпендикулярной проекции оси вращения i2
Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Способ плоскопараллельного перемещения
A
Схема:
Сущность способа: геометрический образ переводится в частное положение плоскопараллельным движением его точек по плоскостям уровня
При плоскопараллельном перемещении траектория движения горизон-тальной проекции точки повторяет ее перемещение в плоскости Г. На П2 фронтальная проекция точки перемещается по следу плоскости Г2 , который параллелен оси х