Metodologie testování vlastností dřeva a materiálů na jeho bázi

Metodologie testování vlastností dřeva a materiálů na jeho bázi
Statistické plánování a vyhodnocení pokusu – základní popisné statistiky

Příklad: Pevnost lepeného spoje – základní popisná statistika
PVAC adhesivum na dřevo
PUR adhesivum na dřevo

Příklad: Pevnost lepeného spoje – základní popisná statistika

Příklad: Pevnost lepeného spoje – základní popisná statistika

Příklad: Pevnost lepeného spoje – základní popisná statistika

Statistické vyhodnocení pokusu – základní popisná statistika
Aritmetický průměr:
Je to součet všech hodnot (xi) vydělený počtem všech statistických jednotek souboru (n).
Reprezentuje průměrnou hodnotu sledovaného vzorku.
x = (x1 + x2 + … xn) = ∑ xi
1 1
n n
n
i=1
n … počet čísel
x … číslo
x … průměr

Aritmetický průměr:
x = (x1 + x2 + … xn) = ∑ xi
1 1
n n
n … počet čísel
x … číslo
x … průměr
n
i=1
V levé skupině máme V pravé skupině máme
tři hodnoty: 7; 8; 9 tři hodnoty: 1; 10; 13
Příklad: Základní popisná statistika – aritmetický průměr
Aritmetický průměr:
x = 8 x = 8
7 8 9 1 10 13
8
8

Rozptyl:
Rozptyl udává, jak moc jsou hodnoty v hodnoceném statistickém souboru rozptýleny. Charakterizuje rozložení hodnot ve vzorku vzhledem k aritmetickému průměru.
Čím je menší, tím jsou naměřené hodnoty blíže aritmetickému průměru.
Příklad: Základní popisná statistika – rozptyl
σ =
∑ xi – x´2
n
σ … rozptyl
n … počet hodnot
xi… číslo
x´… aritmetický průměr

Výpočet rozptylu:
V levé skupině máme V pravé skupině máme
tři čísla: 7; 8; 9 tři čísla: 1; 10; 13
Příklad: Základní popisná statistika – rozptyl
xi x´ xi–x´ (xi–x´)2 xi x´ xi–x´ (xi–x´)2
8 -1 1 1 8 -7 49
8 0 0 10 8 2 4
8 1 1 13 8 5 25
2 78

Rozptyl:
Příklad: Základní popisná statistika – rozptyl
σ =
∑ xi – x´2
n
σ = = 0,67
2
σ = = 26
78
3
Soubor hodnot v levé
skupině 7, 8, 9 má
menší rozptyl, soubor
hodnot je statisticky více
homogenní.
σ … rozptyl xi… číslo
n … počet hodnot x´… aritmetický průměr
3
Soubor hodnot v pravé
skupině 1, 10, 13 má
větší rozptyl, soubor
hodnot je statisticky méně homogenní.

Směrodatná odchylka:
Směrodatná odchylka, podobně jako rozptyl, určuje jak moc jsou hodnoty rozptýleny či odchýleny od průměru hodnot.
Vypočítá se jako odmocnina rozptylu.
Příklad: Základní popisná statistika – směrodatná odchylka
s = √ σ
σ … rozptyl
s … směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka:
Příklad: Základní popisná statistika – směrodatná odchylka
s = √ σ
V levé skupině máme V pravé skupině máme
tři hodnoty: 7; 8; 9 tři hodnoty: 1; 10; 13
s = 0,67 = 0,82
s = 26 = 5,1
Většina hodnot v levé skupině se odchyluje od průměru (8) o méně než 1 v obou směrech, leží mezi hodnotami 7 a 9.
Většina hodnot v pravé skupině se odchyluje od průměru (8) o více než 5 v obou směrech, leží mezi hodnotami 3 a 13.

Variační koeficient:
Variační koeficient je charakteristikou variability rozdělení pravděpodobností náhodní veličiny.
Je to podíl směrodatné odchylky „s“ a aritmetického průměru x´.
Příklad: Základní popisná statistika – variační koeficient
vk = . 100
s
x´
vk … variační koeficient
s … směrodatná odchylka
x´… aritmetický průměr
Variační koeficient se uvádí v %.

Variační koeficient: Uvádí sourodost / reprezentativnost statistického výběru
Variační koeficient, který je větší než 50%, ukazuje na nesourodost statistického souboru a to v takové míře, že použití aritmetického průměru je už stěží oprávněné/málo reprezentativní.
Příklad: Základní popisná statistika – variační koeficient
vk = . 100
s
x´
vk … variační koeficient
s … směrodatná odchylka
x´… aritmetický průměr
Variační koeficient se uvádí v %.

Variační koeficient: Uvádí se v procentech
Příklad: Základní popisná statistika – variační koeficient
vk = . 100
V levé skupině máme V pravé skupině máme
tři hodnoty: 7; 8; 9 tři hodnoty: 1; 10; 13
s
x´
vk = . 100 = 10,2%
0,82
8
vk = . 100 = 63,5%
5,1
8
vk … variační koeficient
s … směrodatná odchylka
x´… aritmetický průměr
Soubor hodnot na levé straně Soubor hodnot na pravé
je dostatečně reprezentativní. není dostatečně statisticky reprezentativní.

Statistické vyhodnocení pokusu – medián
Medián:
Je to je hodnota, která se nachází přesně uprostřed všech hodnot statistického souboru seřazených do neklesající posloupnosti.
Řečeno jinak, všechny hodnoty x seřadíme podle velikosti a vybereme hodnotu, která se nachází uprostřed.
x = x
n + 1
͠
n … počet čísel
x … číslo
x … medián
2
( )
je-li n liché číslo
͠
x =
x + x
n n
2
( )
2
+ 1
( )
2
je-li n sudé číslo
͠

Medián:
Příklad: Základní popisná statistika – medián
V levé skupině máme V pravé skupině máme
tři hodnoty: 7; 8; 9 čtyři hodnoty: 1; 10; 13; 14
x = 8
͠
x = 11,5
͠
8
11,5
7 8 9 1 10 13 14

Statistické vyhodnocení pokusu – modus
Modus:
Je to takové hodnota statistického souboru, která má největší četnost, tzn. je to taková hodnota, která se nejčastěji vyskytuje v hodnoceném souboru.
x = 7; 8; 9 x = 10
˄
V levé skupině máme V pravé skupině máme
tři hodnoty: 7; 8; 9 čtyři hodnoty: 1; 10; 10; 13
Multimodální modus
Unimodální modus
˄

Statistické vyhodnocení pokusu – kvartil
Kvartil:
Ve statistice kvartil jsou to tři body, které rozdělují seřazená data do čtyř stejných skupin (podle počtu čísel), z nichž každá představuje čtvrtinu vzorku dat.

Kvantil:
Příklad: Základní popisná statistika – medián
V levé skupině máme V pravé skupině máme
tři hodnoty: 7; 8; 9 čtyři hodnoty: 1; 10; 13; 14
8
10
7 8 9 1 10 13
Kvantil Q1: 7,5 Kvantil Q1: 5,5
Kvantil Q2: 8 Kvantil Q2: 10
Kvantil Q3: 8,5 Kvantil Q3: 11,5
8,5
7,5
11,5
5,5

Statistické soubory dat se vzájemně statisticky významně odlišují
Příklad: Základní popisná statistika – krabicové grafy
x medián
x0,25 dolní kvartil
x0,75 horní kvartil
xmax. maximální hodnota
xmin. minimální hodnota
͠
1. skupina dat
2. skupina dat
3. skupina dat
4. skupina dat
*
*
*
*
*
extrémní hodnoty

Příklad: Stanovení počtu měřených vzorků pro testování lepeného spoje

Pomocí výběrového šetření chceme odhadnout průměrnou hodnotu pevnosti lepeného spoje dřeva. Odhad se požaduje provádět s 95% spolehlivostí (na hladině významnosti 0,95) a připouští se maximální chyba 1,2 kPa.
Z realizovaného výzkumu/testování, které proběhlo v minulých letech, je známa hodnota směrodatné odchylky testovaného vzorku měření, která má hodnotu 2,0.
Stanovte minimální rozsah výběru, který by zajistil požadovanou přesnost a spolehlivost.
Známé skutečnosti: Požadovaná hladina významnosti: 1 – α = 0,95
Maximální chyba: Δ = 1,2 (kPa)
Směrodatná odchylka hodnoty pevnosti spoje: σ = 2,0
Stanovení počtu měřených vzorků

Stanovení počtu měřených vzorků
Vychází se ze vzorce přípustné chyby odhadu průměru v základním souboru:
Δ
Minimální počet vzorků byl stanoven na 11, respektive u každého měření musí být realizováno 11 platných měření.
Δ = u .
1 -
α
2
α
n
2
2
σ
u .
n ≥
1-
α
2
2
= = 10,67 vzorků
1,96 . 2
1,2
2
2
2
Δ … maximální chyba
σ … směrodatná odchylka
1-α … hladina významnosti
u = u = 1,96 …. hodnota kvantilu
definovaná z tabulky kvantilů normálního rozdělení
1-
2
α
0,975

Příklad: Statistické porovnání průměrných hodnot
Porovnání průměrných hodnot pevností lepených spojů dřeva 2 typů adhesiv, které jsou při vytvrzování vystaveny různé vzdušné relativní vlhkosti