Определённый интеграл. Введение и некоторые его приложения

Введение определённого интеграла

Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f)
y

Будем рассматривать её на отрезке
y
а
b

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x),
прямыми x = а, x = в и у = 0. Назовём её криволинейной
трапецией ABCD
Поставим задачу нахождения её площади S
а
b
x=a
B
C
D
A
x=b
y=0

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a образом
Через точки деления проведём прямые у = а, у=х1, у = х2, …
у = хi, y= xi+1,…, y= b. Этими прямыми трапеция ABCD разбивается на полосы.
x0
xn

Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть отрезок [xi;xi+1], а смежная сторона – это отрезок f(xi) (i=0…n-1)
y
В
С
А
D
Криволинейная трапеция заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников
x0
xn

Основание i-го прямоугольника равно разности xi+1-хi, которую мы будем обозначать через Высота i-го прямоугольника равна f(xi)
y
В
С
A
D
x0
xn

Площадь i-го прямоугольника равна:
Сложив площади всех прямоугольников,
получаем приближенное значение площади S
криволинейной трапеции:

т.к площадь ступенчатой фигуры почти
совпадает с площадью криволинейной трапеции:
y
a
b
y
a
b

Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех прямоугольников
Для обозначения предельных сумм вида
f(xi) xi немецкий учёный В.Лейбниц ввёл символ - интеграл функции f(x) от а до b

Если предел функции f(x) существует, то f(x)
называется интегрируемой на отрезке [a,b].
Числа а и b называются нижним и верхним
пределом интегрирования. При постоянных
пределах интегрирования определённый
интеграл
представляет собой определённое число.

Некоторые приложения определённого интеграла

Задача
Вычислить площадь фигуры F, ограниченной
линиями y= 4-x2 и y= x2-2x
1) Площадь плоской фигуры

Построим фигуру F. Для этого построим
линии, ограничивающие эту фигуру
Решим задачу по следующему алгоритму:
D
2
1
B
C
A
4 Y
A1 0
-2
-1
X

Найдем точки пересечения этих парабол
A(-1;3); B(2;0)
Искомую площадь Sf можно найти как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций

2) Объем тела вращения
Пусть тело образуется при вращении вокруг оси OX криволинейной трапеции x1ABx2
Любое сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате точки кривой Y=f(x)
Площадь сечения S(x) равна y2, т.е.
S(x)= f2(x)
Объем тела вращения может быть вычислен по формуле

ЗАДАЧА
Вычислить объем шара, получаемого вращением полуокружности
вокруг оси OX
Построим полуокружность
y
X
R
-R R
При вращении этой полуокружности вокруг OX получается сфера, ограничивающая шар.
Объем шара найдем по формуле
Ответ: Объем шара (куб.ед.)