Переменный ток

Переменный ток – это вынужденные электрические колебания
Переменный ток, в отличие от тока постоянного, непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению, причем изменения эти происходят периодически, т. е. точно повторяются через равные промежутки времени.
Пусть в цепи имеется источник тока, ЭДС которого изменяется периодически.
- это периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника
Переменные токи далее считаются квазистационарными, т.е. к мгновенным значениям всех электрических величин применимы законы постоянного тока.

Может ли ток меняться со временем так, чтобы в каждый момент времени он был одинаков в каждой точке цепи? Ток, то есть направленное движение зарядов, вызывается электрическим полем. Поэтому время установления тока в цепи t определяется только скоростью распространения электрического поля, то есть скоростью света с (L - длина цепи):
t = L/c
Это время нужно сравнивать с характерным временем изменения электрического поля (напряжения источника тока). В случае периодической э.д.с. это время - просто период колебаний напряжения на э.д.с. Т. Например, в наших электрических сетях напряжение (и ток) колеблется с частотой 50 Гц, то есть 50 раз в секунду.
Период колебаний составляет T = 0,02 с.
Пусть длина нашей цепи L = 100 м.
Тогда отношение t/T составит примерно 10-5 - именно такую очень небольшую относительную ошибку мы сделаем, если будем для нашей цепи с переменным током пользоваться законами постоянного тока.
Переменный ток в цепи, для которой выполняется соотношение t<

Переменный ток – это электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному) закону.
I = I0·sin(ωt+φ),
По теореме Фурье любое колебание можно представить как сумму гармонических колебаний.
Таким образом, синусоидальные или гармонические колебания являются одновременно и самым важным, и самым простым типом колебаний.

Сопротивление в цепи переменного тока
Пусть внешняя цепь имеет настолько малые индуктивность и емкость, что ими можно пренебречь. Пусть начальная фаза φ = 0. Ток через сопротивление изменяется по закону:
I = I0·sin(ωt+φ)
По закону Ома для цепи аRδ: U = I·R = I0·R·sinωt.
Таким образом, напряжение на концах участка цепи изменяется также по синусоидальному закону, причем разность фаз между колебаниями силы тока I и напряжения U равна нулю.
Максимальное значение U равно: U0R = I0·R
При небольших значениях частоты переменного тока активное сопротивление проводника не зависит от частоты и практически совпадает с его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока.

Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения, а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление:

Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.
Выберем ось х диаграммы таким образом, чтобы вектор, изображающий колебания тока, был направлен вдоль этой оси. В дальнейшем мы будем называть ее осью токов.
Метод векторных диаграмм
Так как угол φ между колебаниями напряжения и тока на резисторе равен нулю, то вектор, изображающий колебания напряжения на сопротивлении R, будет направлен вдоль оси токов. Длина его равна I0·R.

Конденсатор в цепи переменного тока
Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи переменного тока с конденсатором.
Пусть напряжение подано на емкость. Индуктивностью цепи и сопротивлением проводов пренебрегаем, поэтому напряжение на конденсаторе можно считать равным внешнему напряжению.
φА-φВ = U = q/C, но I = dq/dt,
следовательно,
I = I0·sinωt
ток меняется по закону,
откуда
Постоянная интегрирования q0 обозначает произвольный заряд, не связанный с колебаниями тока, поэтому можно считать q0 = 0.
=0

Тогда
Следовательно, колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на π/2 (или колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π/2). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.
Физический смысл этого заключается в следующем: чтобы возникло напряжение на конденсаторе, должен натечь заряд за счет протекания тока в цепи. Отсюда происходит отставание напряжения от силы тока.

Отношение амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе к амплитуде колебаний силы тока называют емкостным сопротивлением конденсатора (обозначается XC):
Величина
а по закону Ома U = I·R
играет роль сопротивления участка цепи
Она называется кажущимся сопротивлением емкости (емкостное сопротивление).
векторная диаграмма

Индуктивность в цепи переменного тока
Пусть напряжение подается на концы катушки с индуктивностью L с пренебрежимо малым сопротивлением и емкостью.
Индуктивность контура с током – это коэффициент пропорциональности между протекающим по контуру током и возникающем при этом магнитным потоком. Индуктивность L зависит от формы и размеров контура, а также свойств среды Ф = L·I.
При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникнет ЭДС самоиндукции
Уравнение закона Ома запишется следующим образом:
U = I·R –
=0

тогда
Таким образом, колебания напряжения на индуктивности опережают колебания тока на π/2.
Физический смысл того, что Δφ < 0 следующая: если активное сопротивление R=0, то все внешнее напряжение в точности уравновешивает ЭДС самоиндукции U = – . Но ЭДС самоиндукции пропорциональна не мгновенному значению тока, а быстроте его изменения, которая будет наибольшей в те моменты, когда сила тока проходит через ноль. Поэтому максимумы напряжения U совпадают с нулевыми значениями тока и наоборот.

векторная диаграмма
Роль сопротивления в данном случае играет величина RL=ωL, называемая кажущееся сопротивление индуктивности (индуктивное сопротивление).
Если индуктивность измеряется в Генри, а частота ω в с-1, то RL будет выражаться в Ом.

Закон Ома для переменного тока
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки. Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ω и амплитудой Um, то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой амплитудой Im.
I= I0·sinωt
Вычислим напряжение всей цепи, сложив графически падения напряжения на каждом элементе цепи.
При последовательном соединении падения напряжения на каждом из элементов цепи складываются.
С учетом сдвига фаз между UR,UC и UL, о которых говорилось выше, векторная диаграмма будет иметь следующий вид

Необходимо помнить, что при построении векторной диаграммы складываются амплитудные значения напряжений.
Таким образом, полное напряжение между концами цепи а и б можно рассматривать как сумму двух гармонических колебаний: напряжения U0а и напряжения U0р,
U0а –активная составляющая напряжения (совпадает с током по фазе)
U0р –реактивная составляющая напряжения (отличается от силы тока по фазе на π/2)
U= U0·sin(ωt+φ).
Сумма Uа и Uр дает

Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:
Падения напряжений UR,UC и UL в сумме должны быть равны приложенному к цепи напряжению U. Поэтому, сложив векторы UR,UC и UL, получаем вектор, длина которого равна U0
полный закон Ома для переменного тока
Z - полное сопротивление цепи или импеданс

Вектор U0 образует с осью токов угол φ, тангенс которого равен:
– активное сопротивление цепи. Активное сопротивление всегда приводит к выделению тепла Джоуля-Ленца.
– реактивное сопротивление цепи. Наличие реактивного сопротивления не сопровождается выделением тепла.
Для наших рассуждений безразлично, в каком месте цепи сосредоточены емкость, индуктивность и сопротивление. Их можно рассматривать как суммарные для всей цепи. Т.е. можно заменить реальный генератор воображаемым, для которого внутреннее сопротивление r = 0. Тогда U = – ЭДС генератора. Для замкнутой цепи переменного тока

Резонанс напряжений
Если ЭДС генератора изменяется по закону
то в цепи течет ток I = I0·sin(ωt-φ)
амплитуда которого связана с амплитудой ЭДС законом Ома
фазовый угол определяется формулой
Величина полного сопротивления

При изменении частоты колебаний происходит изменение и амплитуды тока, и сдвига фаз.
если ω = 0
1/ωС = ∞, тогда сопротивление Z → ∞, а I0 = 0. Т.е. при
ω = 0 мы имеем постоянный ток, который не проходит через конденсатор.
квадрат реактивного сопротивления
сначала уменьшается, следовательно, уменьшается и Z,
а сила тока I0 растет.
при увеличении частоты ω,
при ω = ω0
реактивное сопротивление обращается в ноль, а Z становится наименьшим, равным по величине R . Ток при этом достигает максимума.
при ω > ω0
ωL→ ∞, следовательно, Z → ∞, I0 → 0

Таким образом, в случае, когда внешняя частота ω = ω0 сила тока I0 достигает максимума, изменения тока и напряжения происходят синфазно (Δφ = 0), т.е. контур действует как чисто активное сопротивление. Это явление называется резонансом напряжений.
Для напряжения, резонансная частота меньше, чем для тока:
Максимум тем выше, чем меньше β= R/2L, т.е. меньше R и больше L.
Δω/ω0 = 1/Q
UCo max/U0=Q

Три разные кривые соответствуют трем значениям активного сопротивления R.
резонансные кривые
резонансные кривые для UC
резонансные кривые для I0
Чем меньше R, тем при прочих равных условиях, тем больше максимальные значения тока и напряжения. Видно, что с ростом сопротивления R максимум UCo смещается, а максимум I0 - нет

Рассмотрим изменение разности фаз между током и ЭДС. Так же как и I0, φ зависит еще от активного сопротивления контура. Чем оно меньше, тем быстрее изменяется φ вблизи ω = ω0 , и в предельном случае R=0 изменение фазы носит скачкообразный характер.
Зависимость разности фаз φ от частоты колебаний
R2 > R1

Найдем, чему равны амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности при резонансе. Амплитуда тока при резонансе достигает максимума, поэтому
поэтому амплитуда напряжения на конденсаторе
т.е. UoC >
Аналогично амплитуда напряжения на индуктивности есть
т.к.
Преобразуем полученное выражение: