Показатели надежности

Функция отказа
Q
t
1

Введем понятие плотности вероятности отказа объекта f(t).
Аналитически:
f(t) = Q’(t).
Статистически:
где m(t) – количество объектов, отказавших к моменту времени t;
N(t) – количество объектов, исправных к моменту времени t;
N0 – количество объектов, исправных при t = 0.

Плотность вероятности отказа
f
t

Обозначим вероятность безотказной работы в течение времени t:
R(t) = P(T > t)
Назовём R(t) функцией надежности.
Аналитически:
R(t) = 1 – Q(t).
Статистически:

Функция надежности
R
t
1

Связь между функциями Q, R, f
Q
R
f
Q = 1 – R
R = 1 – Q
f = Q’
f = – R’

Графическая связь между функциями Q, R, f
f
t
t
Q(t)
R(t)

Среднее время безотказной работы Т0
R
t
1
Т0
Т0 равно площади под графиком функции надежности R(t)

Среднее время безотказной работы Т0
Статистически:
где
ti – наработка до отказа i-го объекта;
N0 – первоначальное количество исправных объектов.
Причём испытания проводят, пока все N0 объектов не откажут.

Среднее время безотказной работы Т0
Если нет возможности дожидаться отказа всех объектов (из-за недостатка времени), то Т0 можно оценить так:
где
t – время испытания;
m – число отказавших объектов за время t

Интенсивность отказов λ(t)
[λ] = с-1, ч-1, год-1 и т. д.
Статистически:
λ(t) – число отказов в единицу времени, отнесённое к числу безотказно проработавших до этого времени объектов.
С позиций теории вероятности:
λ(t) – условная плотность вероятности отказа объекта при условии, что до рассматриваемого момента отказа не было.
Таким образом λ(t) является локальной характеристикой надёжности, т.е. определяет надёжность объекта в каждый данный момент времени.

Интенсивность отказов λ(t)
Аналитически:
Статистически:
где m(Δt) – количество отказов за время Δt.

Связь между функциями Q, R, f, λ
Q
R
f
λ

Интенсивность отказов
λ
t
приработка
нормальная работа
старение

Для нормальной работы можно считать:
λ(t) = const = λ
Тогда
R(t) = exp(– λt)
Q(t) = 1 – exp(– λt)
f(t) = λexp(– λt)
T0 = 1/λ
Получили экспоненциальный закон распределения с параметром λ.

При экспоненциальном законе вероятность безотказной работы на интервале (t; t + Δt) не зависит от времени предшествующей работы t, а зависит только от продолжительности интервала Δt.
Доказательство:
R(t; t + Δt) = exp(– λΔt)
По формуле условной вероятности
R(t; t + Δt) = R(t + Δt) / R(t) =
= exp(– λ(t + Δt)) / exp(– λt) =
= exp(– λ(t + Δt) + λt)

Упрощение формул для малых времён t
В практических расчетах при малых временах рассмотренные выше формулы упрощают, используя соотношение из теории эквивалентов:
exp(x) ~ 1 + x при х → 0
Тогда
R(t) = 1 – λt
R(t; t + Δt) = 1 – λΔt
Q(t) = λt
Эти зависимости верны для малых λt (т.е. t << T0).

3.2. Объекты с мгновенным восстановлением
Эксплуатация восстанавливаемого объекта не прекращается при его отказе.
Объект ремонтируется или заменяется новым.
Наработка между отказами и продолжительность восстановления являются НСВ.
Рассмотрим ситуацию, когда время восстановления << наработки между отказами.

Поток отказов объекта с мгновенным восстановлением
t
Т1
Т2
Т3
Тk
t1
t2
t3
tk
tk-1
0

Рассмотрим плотности вероятностей времени:
до первого отказа f1(t);
до второго отказа f2(t);
…
до k-го отказа fk(t).
Пусть первый отказ произошёл в момент τ;
пусть второй отказ произошёл в момент t.

Рассмотрим первые 2 отказа объекта
t
I отказ
τ
τ+Δτ
Δτ
t+Δt
t
0
II отказ
Δt
t – τ

Выведем формулу для f2(t)
Наработка на второй отказ равна t – τ.
Рассмотрим вероятность того, что второй отказ произойдёт на интервале (t; t + Δt):
Δf2(t) Δt = f1(τ) Δτ ∙ f1(t – τ) Δt
Разделим на Δt и проинтегрируем по τ от 0 до t:

Обобщим этот результат на k отказов.
Выведем формулу для fk(t).
Пояснение:
Дошли до (k – 1)-го отказа,
зафиксировали накопившуюся вероятность
и начали отсчёт времени с нуля.
Значит, следующий отказ будет первым =>
=> в интеграле имеется f1(t).

Построим графики fk(t) для разных k
f
t
2T0
T0
3T0
f1
f2
f3

Свойства графиков fk(t)
Каждый график fk(t) имеет максимум в точке
t = kТ0.
Каждый график fk(t) приблизительно симметричен относительно оси t = kТ0.
Максимальное значение функции fk(t) уменьшается с ростом k, т.к. накапливаются неопределённости по предыдущим наработкам.
Кривая fk(t) становится более пологой (широкой) с ростом k.

Параметр потока отказов ω(t)
Назовём сумму
f1(t) + f2(t) + … + fk(t) = ω(t)
параметром потока отказов.
По сути ω(t) – это плотность вероятности отказа.
С одной стороны функция ω(t) является локальной по времени, с другой стороны она охватывает одновременно все отказы, т.е. является глобальной по отказам.

Построим график ω(t)
ω
t
2T0
T0
3T0
f1
f2
f3

Свойство графика ω(t)
График ω(t) имеет максимумы в точках
t = kТ0.
Кривая ω(t) стабилизируется с течением времени и с ростом k на уровне 1/Т0, т.е. процесс возникновения отказов становится стационарным, его локальные характеристики перестают зависеть от времени.

Свойства потоков отказов
Потоки отказов могут обладать свойствами:
Свойство ординарности. Вероятность совмещение 2-х и более отказов в один момент времени равна нулю.
Свойство отсутствия последействия. Числа отказов для любых неперекрывающихся интервалов времени независимы.
Свойство стационарности. Вероятность появления k отказов на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности Δt и не зависит от начала отсчёта времени.

Виды потоков отказов
Если выполняется (1),
то поток ординарный.
Если выполняются (1) и (2), то поток пуассоновский.
Если выполняются (1), (2), (3),
то поток простейший.

Для простейшего потока:
f1(t) = λ exp(–λt)
f2(t) = λ2 exp(–λt)
…
ω(t) = λ
T0 = 1/λ

Для простейшего потока:
Вероятность k отказов за время t:
Вероятность безотказной работы за время t:
P0(t) = exp(–λt)

3.3. Объекты с конечным временем восстановления
Время восстановления τ = tп + tр
tп – поиск неисправности;
tр – ремонт или замена.
Пусть объект, проработав время T1, выходит из строя и восстанавливается в течение τ1.
Восстановленный объект через T2 вновь отказывает, за τ2 снова восстанавливается и т.д.

Поток отказов объекта с конечным временем восстановления
t
Т1
τ1
Т2
τ2
t1о
0
t1в
t2о
t2в
Работа
Восста-нов-ление
Работа
Восста-нов-ление

Сделаем допущения:
1) Тk, τk – независимые НСВ.
2) Все периоды работы Тk имеют:
- законы F(t), f(t);
- среднюю наработку на отказ Т = М(Тk);
- интенсивность отказов λ = 1/Т.
3) Все периоды восстановления τk имеют:
- законы G(t), g(t);
- среднее время восстановления τ = М(τk) ;
- интенсивность восстановлений μ = 1/τ.
4) Поток отказов и восстановлений – простейший.

Введём понятие коэффициента готовности Кг(t)
Кг(t) – это вероятность того, что в момент времени t объект находится в работоспособном состоянии (РСС).
Найдём зависимость Кг(t).
Вероятность застать объект в РСС в момент (t + Δt) зависит от его состояния в момент t и его поведения на интервале Δt.

Две гипотезы РСС объекта в момент времени t
t
Работа
Работа
Восста-нов-ление
t+Δt
t
t+Δt
Н1:
изначально объект работал, далее за время Δt работал безотказно
Н2:
изначально объект восстанавливался (т.е. не работал), далее за время Δt успел восстановиться
R(Δt)
G(Δt)

По формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) + Р(Н2)∙Р(А|Н2)
Кг(t + Δt) = Кг(t)∙R(Δt) + (1 – Кг(t))∙G(Δt)
Вероятность РСС
Вероятность безотказной работы
Вероятность НРСС
Вероятность восстановления

В разделе 3.1 доказано, что:
R(Δt) = 1 – λΔt;
G(Δt) = μΔt.
Подставим:

Статистически:

Коэффициент неготовности – вероятность нахождения объекта в НРСС.
Кнг = 1 – Кг
Кнг(0) = 0
Кнг(∞) = λ/(λ+μ) = τ/(Т+τ)
график Кнг(t)
Коэффициент аварийного простоя – относительная длительность восстановления.
qав = λ/μ = τ/Т

Глава 4. Вероятностные модели для расчёта надёжности
4.1. Общие положения
Система состоит из множества элементов.
Надёжность системы зависит от надёжности её элементов и от её конфигурации.
Каждый элемент системы и сама система могут находиться только в двух состояниях – работы или отказа.
Если все элементы системы работают, то и сама система тоже работает.
Если все элементы отказали, то и система отказала.

Введем обозначения
Аi – событие безотказной работы i-го элемента;
Аi – событие отказа i-го элемента;
Ас – событие безотказной работы системы;
Ас – событие отказа системы;

Системы отображаются в виде:
физических схем:
они имеют действительные, электрические связи;
логических (расчётных) схем:
они отражают логические связи, в смысле надёжности.
Отказом системы считают отсутствие связи между началом и концом логической схемы.

Пример
Потребитель мощностью 3 МВт получает электропитание от 3-х одинаковых линий с пропускной способностью 2 МВт каждая.
Физическая схема Логическая схема
1
2
3
1
2
3
2
3

Докажем справедливость логической схемы с помощью таблицы истинности
Физическая схема Логическая схема
1
2
3
1
2
3
2
3

4.2. Последовательное соединение элементов
Последовательным (в смысле надёжности) называют такое соединение, при котором отказ одного элемента приводит к отказу всей системы, но не изменяет надёжности других элементов.
Тогда вероятность безотказной работы системы равна системы равна произведению б.о.р. всех элементов:
Р(Ас) = Р(А1) ∙ Р(А2) ∙ … ∙ Р(Аn)

4.2.1. При отсутствии восстановления элементов
Вероятность б.о.р. системы, состоящей из независимых и невосстанавливаемых элементов в течение времени t:
Rс(t) = R1(t) ∙ R2(t) ∙ … ∙ Rn(t)
Т.к. Ri(t) = exp(– λit), то
Rс(t) = exp(– λ1t) ∙ exp(– λ2t) ∙ … ∙ exp(– λnt) =
= exp(– (λ1 + λ2 + … + λn)t)

С другой стороны
Rс(t) = exp(– λсt)
Значит
λс = λ1 + λ2 + … + λn
1/Тс = 1/Т1 + 1/Т2 + … + 1/Тn ;
Тс = 1/(1/Т1 + 1/Т2 + … + 1/Тn)

4.2.2. При мгновенном восстановлении элементов
Число отказов системы равно сумме чисел отказов элементов.
Допустим, за время t:
элемент 1 претерпевает h1 отказов;
элемент 2 претерпевает h2 отказов;
…
элемент n претерпевает hn отказов.
Рассмотрим поток отказов системы:

––––x––––––––––x–––––––x––––––––––––––– 1 эл.
––––––––x–––––––––––––––x–––––––––––––– 2 эл.
–––––x–––––––––––––––––––––––––––x––––– 3 эл.
––––––––––x–––––––––––––––––––––x–––––– 4 эл.
––––хх––х–x––––х––––––––хх–––––––xх––––– Система
hс = h1 + h2 + … + hn => λс = λ1 + λ2 + … + λn

Вероятность появления k отказов на интервале Δt:
Вероятность б.о.р. системы:
R(t) = exp(– λсt) = exp(– t/Тс)

4.2.3. При конечном времени восстановления
В этом случае при отказе элемента, на время его восстановления отключается вся система.
После окончания восстановления элемента все элементы начинают работать так, как если бы восстановление происходило мгновенно.

Дано:
последовательность средних периодов б.о.р. элементов:
Т1, Т2, …;
со средним временем б.о.р. системы:
Тс = 1/(1/Т1 + 1/Т2 + …)
и последовательность средних периодов восстановления элементов:
τ1, τ2, …
Найти среднюю длительность восстановления системы τс

Решение
Вероятность отказа i-го элемента на отрезке Δt:
λi Δt
Вероятность отказа системы на отрезке Δt:
λс Δt
Тогда условная вероятность отказа i-го элемента при условии, что на этом же интервале отказала система, равна:
λi Δt / λс Δt = λi / λс
По формуле полной вероятности найдём распределение длительности восстановления для системы, начавшегося в момент t:
Gc(t) =

Формулы для средней длительности восстановления системы

Выведем коэффициент готовности системы через Тi, τi

Коэффициент готовности системы

4.3. Параллельное соединение элементов
4.3.1. Резервирование одного элемента (n-1) резервным
Система с параллельным ( в смысле надёжности) соединением элементов выходит из строя только в случае отказа всех её элементов.

Вероятность отказа такой системы равна:
Р(Ас) = Р(А1) ∙ Р(А2) ∙ … ∙ Р(Аn)
(при этом считаем, что отказы всех элементов независимы).
Вероятность б.о.р. системы равна:
Р(Ас) = 1 – (1 – Р(А1)) ∙ (1 – Р(А2)) ∙ … ∙ (1 – Р(Аn))
Вероятность отказа системы:
Qс(t) = Q1(t) ∙ Q2(t) ∙ … ∙ Qn(t)
Вероятность б.о.р. системы равна:
Rc(t) = 1 – (1 – R1(t)) ∙ (1 – R2(t)) ∙ … ∙ (1 – Rn(t))

При равнонадежных элементах и экспоненциаль-ном законе:
Qс(t) = (1 – exp(– λt))n,
где λ – частота отказа элемента схемы.
Вычислим среднее время б.о.р. системы:
Тс =

При n → ∞
Тс = ln(n)/λ
Например:
n = 100: Тс = 4,6/λ
n = 1 000: Тс = 6,9/λ
n = 10 000: Тс = 9,2/λ
Вычислим параметры системы Тс , τс , λс , μс через параметры равнонадёжных элементов Т, τ, λ, μ:
Вывод формул выполним через величины:
qс , q – вероятности застать систему и элемент в состоянии простоя.

Тс = Т / nτn-1 ;
τс = τ / n ;
λс = nλ / μn-1 ;
μс = nμ

4.3.2. Резервирование r рабочих элементов (n – r) резервными
Пусть система состоит из n элементов.
Пусть для нормального функционирования системы необходимо r элементов.
Тогда остальные (n – r) элементов являются резервными.
Отказ системы наступает при выходе из строя
(n – r + 1) элементов.

Пример
k = (n – r) / r – кратность резервирования
n – r
r
n

Как рассчитать функции надежности Rc и отказа Qс всей системы, зная Ri и Qi каждого элемента?
В общем виде – громоздкое выражение, поэтому примем допущение, что все элементы равнонадёжны и имеют функции
R1 = R2 = … = R,
Q1 = Q2 = … = Q.
Сначала выведем формулы для частного случая.

Пример
Дано: Найти:
n = 5 Rc
r = 2 Qc
n – r + 1 = 4
k = 1,5
R
Q

Решение
Очевидно, что для системы:
Rc + Qc = 1
и для каждого элемента:
R + Q = 1
Отсюда следует, что:
Rc + Qc = (R + Q)5 =
= R5 + 5R4Q + 10R3Q2 + 10R2Q3 + 5RQ4 + Q5

Обобщим результаты этого примера

Виды резервирования
По способу включения резервных элементов резервирование бывает:
постоянное (резервные объекты включены в систему в течение всего времени работы и находятся в одинаковых с другими объектами условиях)
замещением (резервные объекты включают в систему вместо основных после отказа последних)

Постоянное резервирование (неявное)
Отказавший элемент должен отключаться защитной аппаратурой, надёжность которой будет определять надёжность всей схемы.

Резервирование замещением (явное)
Отказавший элемент должен отключаться защитной аппаратурой, а резервный элемент должен включаться аппаратурой автоматики.
Надёжность этих видов аппаратуры будет определять надёжность всей схемы.

4.4. Последовательно-параллельное соединение элементов
В этом случае логическая схема поэтапно эквивалентируется до одного элемента.
р1
р2
р1
р2
рэкв = р1р2
рэкв = р1 + р2 – р1р2

Полезно помнить, что:
при последовательном соединении робщ меньше меньшего;
при параллельном соединении робщ больше большего, но меньше 1.

Пример
1
2
0,96
0,92
3
0,85
5
0,8
5
0,7
6
0,7
7
0,9

Вывод
За счёт параллельных связей надёжность системы выше надёжности каждого элемента.

4.5. Метод минимальных путей и сечений
Этот метод применяют, когда структуру системы нельзя свести к последовательно-параллельным цепочкам.
Введем следующие понятия:
Путь – последовательность смежных элементов, соединяющая вход и выход схемы.
Сечение – совокупность элементов, удаление которых приводит к нарушению связи между входом выходом.

Минимальный путь – путь, удаление из которого хотя бы одного элемента приводит к тому, что оставшееся множество элементов не будет путём.
Минимальное сечение – сечение, удаление из которого хотя бы одного элемента приводит к тому, что оставшееся множество элементов перестаёт быть сечением.

Пример
Минимальные пути:
14, 25, 135, 234
Минимальные сечения:
12, 45, 135, 234
1
2
4
5
3

Схема минимальных путей отражает работоспособность:
1
4
2
5
1
3
2
3
5
4