Приближённые вычисления интегралов

Цель урока:
Научить вычислять определённые интегралы с помощью ПЭВМ в случае, когда первообразная F для подинтегральной функции не выражается через элементарные функции.

План урока
Приближённый метод вычисления определённого интеграла. Формула трапеции.
Составление программы для вычисления площади криволинейной трапеции.
Отчёт по программе.

Ход урока:
Приближённый метод вычисления определённого интеграла. Формула трапеции.
Проблемная задача
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями :

В процессе решения задачи повторить схему вычисления площади фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций.
Построить графики функций
Найти абсциссы X1 и Х2 точек пересечения этих графиков.
Если точек пересечения две, то определить, график какой из функций на отрезке [х1, х2] расположен выше.
Найти площадь фигуры по формуле
Если точек пересечения больше двух, то разбить фигуру на части.

Итак, решая поставленную задачу получили, что
Возникла ситуация, когда первообразная для подинтегральной функции не выражается через известные нам элементарные функции. В этом случае,
для нахождения значения
применяют приближенные методы.
Рассмотрим один из них .
Для простоты будем считать функцию неотрицательной и непрерывной на
[а,в].

рис. 1 рис. 2
Для вычисления площади данной фигуры [а, Ь] разбивается точками на п частей и на каждом участке строят
прямоугольники с высотами

Для приближённого вычисления интеграла можно использовать формулу
(1).
Для приближённого вычисления интеграла можно использовать формулу
(1).

Рассмотрим рис. 2. Объединение каких плоских фигур ближе к
криволинейной трапеции, нежели объединение прямоугольников?
Трапеций. Сумма площадей полученных трапеций равна:
Эта формула называется формулой трапеции.

Точность вычисления зависит от выбора п , чем больше п, тем выше точность, но с увеличением п, вычисления становятся всё более громоздкими, поэтому при приближённом вычислении интеграла удобно использовать вычислительную технику. Беря достаточно большое значение п , можно получить сколь угодно точные оценки интеграла. Если точность вычисления интеграла задана, то можно определить на сколько частей нужно разбить отрезок, чтобы вычислить интеграл с заданной точностью.
Существует несколько способов оценки числа п. Один из них основывается на разности оценок интеграла снизу и сверху.

Если /(х) бывает, то поменять местами нижний и верхний пределы интегрирования. Это следует из того, что:
Если /(х) бывает, то поменять местами нижний и верхний пределы интегрирования. Это следует из того, что:

Пример. На сколько частей надо разбить отрезок [1;2], чтобы вычислить
Решение.