Решение уравнений II,III,IV степени

План:
1) Квадратные уравнения.
2) Теорема Виета.
3) Из истории.
4) Формула Кардано.
5) Метод Феррари.

Решение уравнений II,III,IV-й степеней по формуле.
Уравнения первой степени, т.е. линейные, нас учат решать ещё с первого класса, и особого интереса к ним не проявляют. Интересны нелинейные уравнения т.е. больших степеней. Среди нелинейных ( уравнений общего вида, не решающихся разложением на множители или каким-либо другим относительно простым способом ) уравнения низших степеней (2,3,4-й) можно решить с помощью формул. Уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах (нет формулы). Поэтому мы рассмотрим только три метода.

I. Квадратные уравнения.
Формула Виета.
Дискриминант квадратного трехчлена.
Для любого приведённого кв. уравнения справедлива формула :
Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид:
Выражение D называют дискриминантом. При исследовании кв. трехчлена смотрят на знак D. Если D>0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D<0, то корней нет.

II. Теорема Виета
Для любого приведённого кв. уравнения
Справедлива теорема Виета:
Для любого уравнения n-ой степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени.

Вывод формулы Виета.
Запишем формулу квадрата суммы
И заменим в ней a на х, b на
Получим:
Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство:
Теперь нетрудно получить нужную формулу.

Пример :

III. Из истории.
В XV-XVI вв. расцвет науки происходит главным образом в Италии, во Франции и в Германии, а позднее, - в конце 16 в., - в Голландии, которая в это время переживала первую в Европе буржуазную революцию.

Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.
Рассмотрим произвольное кубическое уравнение:
И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду
Пусть Получим:
Положим т.е. Тогда данное уравнение
примет вид

В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута. Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач.
Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.

IV. Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре он получил от противника 30 задач, увидев,что все они сводятся к кубическому уравнению
И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, преложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения
Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне.
Рассмотрим уравнение
Тарталья использовал подстановку

Из уравнения он получил:
Для u и v получена система
Значит, они являются корнями квадратного уравнения
Следовательно, для отыскания х имеем формулу

Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в 1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах».
Джироламо Кардано (1501-1576) окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.

Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить ее тайну. Он не сдержал слова и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа».
В книге Кардано «Великое искусство…» опубликована также формула для решения уравнений четвертой степени, которую открыл Луиджи Феррари (1522-1565)-ученик Кардано, его секретарь и поверенный.

V. Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени:
С помощью подстановки его можно привести к виду
Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем:
Феррари ввел параметр и получил:
Отсюда
Учитывая, получим
В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю, т.е. число t должно удовлетворять уравнению

Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде
Отсюда получаем два квадратных уравнения:
Они дают четыре корня исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение
Легко проверить, что -корень этого уравнения.
Естественно считать, что, используя формулу Кардано, мы найдем этот корень. Проведем вычисления, учитывая, что
По формуле находим:
Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок. 1526-1573), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i, такое, что
Бомбелли сформулировал правила операций с числом
Согласно теории Бомбелли,выражение можно записать так:
А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так:

Вывод:
Изучая данную тему, я пришёл к выводу,
что существуют формулы для решения уравнений II, III, IV степеней, не входящие в школьный курс математики. Корни уравнения не всегда действительные числа.