Слайд 2План:
1) Квадратные уравнения.
2) Теорема Виета.
3) Из истории.
4) Формула Кардано.
5) Метод Феррари.
![План: 1) Квадратные уравнения. 2) Теорема Виета. 3) Из истории. 4) Формула Кардано. 5) Метод Феррари.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-1.jpg)
Слайд 3Решение уравнений II,III,IV-й степеней по формуле.
Уравнения первой степени, т.е. линейные, нас
![Решение уравнений II,III,IV-й степеней по формуле. Уравнения первой степени, т.е. линейные, нас](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-2.jpg)
учат решать ещё с первого класса, и особого интереса к ним не проявляют. Интересны нелинейные уравнения т.е. больших степеней. Среди нелинейных ( уравнений общего вида, не решающихся разложением на множители или каким-либо другим относительно простым способом ) уравнения низших степеней (2,3,4-й) можно решить с помощью формул. Уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах (нет формулы). Поэтому мы рассмотрим только три метода.
Слайд 4 I. Квадратные уравнения.
Формула Виета.
Дискриминант квадратного трехчлена.
Для любого приведённого кв.
![I. Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного трехчлена. Для любого приведённого кв.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-3.jpg)
уравнения справедлива формула :
Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид:
Выражение D называют дискриминантом. При исследовании кв. трехчлена смотрят на знак D. Если D>0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D<0, то корней нет.
Слайд 5II. Теорема Виета
Для любого приведённого кв. уравнения
Справедлива теорема Виета:
Для любого уравнения n-ой
![II. Теорема Виета Для любого приведённого кв. уравнения Справедлива теорема Виета: Для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-4.jpg)
степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени.
Слайд 6Вывод формулы Виета.
Запишем формулу квадрата суммы
И заменим в ней a на
![Вывод формулы Виета. Запишем формулу квадрата суммы И заменим в ней a](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-5.jpg)
х, b на
Получим:
Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство:
Теперь нетрудно получить нужную формулу.
Слайд 8III. Из истории.
В XV-XVI вв. расцвет науки происходит главным образом в Италии,
![III. Из истории. В XV-XVI вв. расцвет науки происходит главным образом в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-7.jpg)
во Франции и в Германии, а позднее, - в конце 16 в., - в Голландии, которая в это время переживала первую в Европе буржуазную революцию.
Слайд 9Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для
![Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-8.jpg)
решения уравнений третьей и четвертой степеней.
Рассмотрим произвольное кубическое уравнение:
И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду
Пусть Получим:
Положим т.е. Тогда данное уравнение
примет вид
Слайд 10В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута.
![В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-9.jpg)
Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач.
Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.
Слайд 11IV. Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре
![IV. Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-10.jpg)
он получил от противника 30 задач, увидев,что все они сводятся к кубическому уравнению
И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, преложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения
Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне.
Рассмотрим уравнение
Тарталья использовал подстановку
Слайд 12Из уравнения он получил:
Для u и v получена система
Значит, они являются
![Из уравнения он получил: Для u и v получена система Значит, они](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-11.jpg)
корнями квадратного уравнения
Следовательно, для отыскания х имеем формулу
Слайд 13Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в
![Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-12.jpg)
1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах».
Джироламо Кардано (1501-1576) окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.
Слайд 14Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения
![Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-13.jpg)
кубических уравнений и обещал хранить ее тайну. Он не сдержал слова и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа».
В книге Кардано «Великое искусство…» опубликована также формула для решения уравнений четвертой степени, которую открыл Луиджи Феррари (1522-1565)-ученик Кардано, его секретарь и поверенный.
Слайд 15V. Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени:
С помощью подстановки его
![V. Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени: С помощью подстановки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-14.jpg)
можно привести к виду
Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем:
Феррари ввел параметр и получил:
Отсюда
Учитывая, получим
В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю, т.е. число t должно удовлетворять уравнению
Слайд 16
Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда
![Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-15.jpg)
уравнение запишется в виде
Отсюда получаем два квадратных уравнения:
Они дают четыре корня исходного уравнения.
Слайд 17Приведем пример. Рассмотрим уравнение
Легко проверить, что -корень этого уравнения.
Естественно считать, что, используя
![Приведем пример. Рассмотрим уравнение Легко проверить, что -корень этого уравнения. Естественно считать,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-16.jpg)
формулу Кардано, мы найдем этот корень. Проведем вычисления, учитывая, что
По формуле находим:
Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок. 1526-1573), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i, такое, что
Бомбелли сформулировал правила операций с числом
Согласно теории Бомбелли,выражение можно записать так:
А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так:
Слайд 18Вывод:
Изучая данную тему, я пришёл к выводу,
что существуют
![Вывод: Изучая данную тему, я пришёл к выводу, что существуют формулы для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/349168/slide-17.jpg)
формулы для решения уравнений II, III, IV степеней, не входящие в школьный курс математики. Корни уравнения не всегда действительные числа.