Решение задач на нахождение площади поверхности и объемов тел вращения

Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.
1) Если дно шляпы опустить на плоскость её полей, то получим круг радиуса
R = r1+ 10 = 20 cм.
2) Площадь этого круга
3) Найдем площадь боковой поверхности цилиндрической части
4) Найдем площадь шляпы
Ответ: 1600 (см2).
r1=10
10
10
Решение.

Задача 1.
Прямоугольный треугольник с гипотенузой
25 см и проведенной к ней высотой равной 12 см
вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь
поверхности тела, полученного при вращении.
Решение:
АВ=25 см, СН=12 см
Sтела=Sбок.кон(1) + Sбок.кон(2)
h2=ac*bc (высота в прямоугольном треугольнике)
CH2=AH*HB. Пусть AH=x, тогда НВ=25-x.
x(25-x)=122;
x2-25x+144=0;
АН=16 см, НВ=9 см
Из ΔАНС по теореме Пифагора АС2=АН2+СН2;
АС=20см-(образующая 1) Sбок.кон(1)=πrl=π*12*20=240π (cм2);
Из ΔВНС СВ2=СН2+НВ2
CB=15 (см).- (образующая 2).
Sбок.кон(2)=π*12*15=180π (см2).
Sтела=240π +180π=420π (см2)
Ответ: 420π см2

Задача 2.
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см вращается вокруг большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Решение:
АС=5 см, НК=10см, СК=13 см.
ОК=НК-АС=5 см;
l=13 см
Из ΔСОК по теореме Пифагора СО2=СК2-ОК2; СО=r =12 см;
Sбок.кон=πrl=π*12*13=156π (см2);
Sцил.=2πrh+πr2=2π*12*5+144π=264π (см2);
Sтела= Sбок.кон.+Sцил.= 156π +264π=
=420π (см2);
Ответ: 420π см2
А
B
C
h
O
K
H

Задача 3.
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Решение:
ВС=5 см, АD=10 см,АВ=13 см
Sтела= Sбок.кон.+Sцил(1основание)
Sтела= πrl+2πrh+πr2; АК=АD-ВС=5 (см);
Из ΔАКВ - прямоугольного по теореме Пифагора КВ2=АВ2-АК2;
КВ=12см – r
AB=l – образующая
h=AD=10 см
Sтела=π*12*13 + 2π*12*10+144π=540π (см2).
Ответ: 540π см2
K
D
А
B
C

Задача 4.
Равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 10 см и высотой 4 см вращали вокруг большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Решение:
АВ=4см, DC=10 см, ВН=4 см
Sтела=2 Sбок.кон.+Sбок.цил.
Sбок.кон=πrl
HC=10-2/2=3.
Из ΔВНС по теореме Пифагора СВ2=СН2+НВ2;
CВ=5 см.-l (образующая).
BH=r=4 cм;
Sбок.кон=π*4*5=20π (см2)
h=HH1=10 – (3+3)=4 см. Sбок.цил.=2πrh=2*4*4*π=32π (см2)
Sтела=40π+32π=72π (см2).
Ответ: 72π см2.
B
B1
D
A1

5

6

7

Дано два цилиндра. Объем первого равен 12 м3. Радиус
основания второго в два раза меньше, чем первого, а высота в три
раза больше. Требуется найти объем второго цилиндра.
Решение: Объем цилиндра вычисляется по формуле:V=hπr²
Отметим радиус основания первого цилиндра r а высоту h.
Тогда радиус основания второго цилиндра равен r/2, а
высота 3h. Подставим в указанную выше формулу и
получим:V₂=3hπ(r/2)²
Упростим полученное выражение: V₂=3hπ(r/2)² =3/4hπr²=3/4·12=9
Таким образом, объем второго цилиндра равен 9 м3.
Ответ: 9.

Решите самостоятельно
следующие задачи: