Системы счисления и арифметические основы работы ЭВМ

Из истории создания ЭВМ
1642 году Блез Паскаль изобрел устройство для механического сложения чисел
1673 году Г. В. Лейбниц сконструировал арифмометр
английский математик Ч. Бэббидж попытался построить универсальное вычислительное устройство, выполняющее вычисления без участия человека. Для этого оно должно было уметь исполнять программы, вводимые с помощью перфокарт .
американец Г. Эйкен в 1943 году построил на одном из предприятий фирмы IBM машину, функционирующую на электромеханических роле и получившую название «Марк-1».
с 1943 года, специалисты под руководством Д. Мочли и П. Экерта в США конструировали более современную вычислительную машину на основе электронных ламп, которая могла бы хранить выполняемую программу в своей памяти. В 1945 году к проекту был привлечен знаменитый математик Джон фон Нейман.

Первый компьютер построен в 1949 году английским исследователем М. Уилксом.
Первый компьютер, в котором в полной мере реализовались принципы фон Неймана. С той поры прошло более 60 лет, но большинство современных компьютеров соответствуют принципам, изложенным фон Нейманом.
♦ арифметико-логическое устройство, выполняющее арифметические и логические операции;
устройство управления, организующее процесс выполнения программ и синхронизирующее работу остальных устройств компьютера;
запоминающее устройство (память), предназначенное для хранения выполняемых программ и обрабатываемых данных;
внешние устройства, предназначенные для ввода и вывода информации.

Представление информации в компьютере
Компьютер может обрабатывать только информацию, представленную в числовой форме.

Системы счисления
Система счисления —
это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Двоичная система счисления
. В этой системе всего две цифры –
0 и 1
Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Десятичная система счисления
Десятичная система счисления пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

Восьмеричная система счисления.
Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления.
Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы.

позиционные и непозиционные системы счисления
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 * 102 + 5 * 101 + 7 * 100 + 7 * 10-1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Пример представления числа в десятичной системе счисления
Десятичное число, состоящее хотя бы из двух цифр, является суммой различных степеней основания, умноженных на соответствующую цифру. Так, число 10 представляет собой сумму из одного десятка (101) и нуля единиц (100), а число 423 — сумму из четырех сотен (102), двух десятков (101) и трех единиц (100).

Пример представления числа в восьмеричной системе счисления.
Рассмотренный метод представления чисел достаточно универсален и используется в других системах счисления, в которых основание отлично от десяти. Например, в системе с основанием 8 задействовано восемь символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, а значимость каждой позиции возрастает пропорционально степени числа 8, как показано на рис.3.

Пример представления числа в двоичной системе счисления.
Компьютер способен обрабатывать информацию в двоичной системе счисления. В ней используются только два символа 0 и 1, а смещение символа на одну позицию влево увеличивает значение числа пропорционально степени основания 2. На рисунке показано восьмибитовое (1 байт) представление числа 58 в двоичной системе счисления.

Перевод числа из одной системы счисление в другую
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления. Эта система имеет ряд преимуществ перед другими системами:
для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов. Являясь удобной для компьютеров, для человека двоичная система неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 0,3510 = 0,010112 = 0,2638 = 0,5916 .

Арифметические операции в позиционных системах счисления
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример: Сложим числа 15 и 6 в шестнадцатеричной системе счисления: F16 + 61615 + 6 = 2110 = 101012 = 258;
Ответ: = 1516.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012= 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,
258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21,
1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.