Собственные векторы и собственные значения матрицы

1. Определения
Ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число , что
Число называется собственным (характеристическим) значением (числом) матрицы А, соответствующим вектору х.
далее

Характеристическим уравнением матрицы А называется уравнение:
Пример 1.
назад

Пример 1. Составить характеристические уравнения для матриц
Решение:

Решение (Пример 1):
Составим характеристическое уравнение для матрицы А:
далее

Решение (Пример 1):
Составим характеристическое уравнение для матрицы В:
назад

2. Нахождение собственных значений матрицы
Для нахождения собственных значений матрицы А необходимо решить характеристическое уравнение
Пример 2.
назад

Пример 2. Найти собственные значения матриц
Решение:

Решение (Пример 2):
Решим характеристическое уравнение матрицы А:
далее

Решение (Пример 2):
Решим характеристическое уравнение матрицы В:
назад

3. Нахождение собственных векторов матрицы
Для нахождения собственных векторов матрицы А необходимо решить систему линейных однородных уравнений
Пример 3.
назад

Пример 3. Найти собственные векторы следующих матриц
Решение:

Решение (Пример 3) для матрицы А:
1) Решив характеристическое уравнение для матрицы А, получили
2) Для собственного значения составим систему линейный однородных уравнений:
далее

Решение (Пример 3) для матрицы А:
3) Для собственного значения составим систему линейный однородных уравнений:
далее

Решение (Пример 3) для матрицы В:
1) Решив характеристическое уравнение для матрицы В, получили
2) Для собственного значения составим систему линейный однородных уравнений:
далее

Решение (Пример 3) для матрицы В:
3) Для собственного значения составим систему линейный однородных уравнений:
далее

Решение (Пример 3) для матрицы В:
4) Для собственного значения составим систему линейный однородных уравнений:
назад