Софизмы и парадоксы в математике

Софизмы и парадоксы
Подготовили: студентки Хакасского политехнического колледжа
Стяжкина Анастасия
Шишигина Ирина
Научный руководитель: Овчарук Л.П.

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.
И. Ньютон

Цель и задачи.
Цель нашей работы:
Познакомиться с софизмами,
показать значимость математических софизмов
при изучении математики,
показать как получаются абсурдные выводы
Задачи:
дать определение понятиям «софизм» и «парадокс»; узнать, в чём их отличие;
классифицировать различные виды софизмов;
понять, как найти ошибку в софизмах;
составить компьютерную презентацию.

Основная гипотеза проекта
Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Классификация софизмов
Логические
Алгебраические софизмы
Геометрические софизмы

Экскурс в историю.

«Один рубль не равен ста копейкам»
если а = b и c = d, то ac = bd.
1 рубль = 100 копейкам
10 рублей = 1000 копеек
10 рублей = 100 000 копеек
1 рубль = 10 000 копеек
Но
1 рубль ≠ 10 000 копеек
Где ошибка?
1р.*1р. =1 .

«Дважды два - пять»
4:4=5:5.
4(1:1)=5(1:1)
1:1=1
4=5 или 2*2=5
Где ошибка?
4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).
4:4=4(1:4)

«Неравные числа равны»
а ≠ b.
а-b = с.
умножим а-b
(а-b)2 = = c(a-b),
a2-2ab + b2 = = ac-bc,
а2- аb — ас = аb -b2 -bc.
а(а-b-с) = b(а-b-с).
(а-b-с)
а=b,
Где ошибка???

«Окружность имеет два центра»
A
B
C
Е
D
F
H
М
О
О1

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть а дм- длина спички
и b дм - длина столба. Обозначим: b - а =с
Имеем b - a = c
b = a + c.
b2 - ab = ca + c2
Прибавим bc.
b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или
b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда
b = - c, но c = b - a, поэтому
b = a - b, или a = 2b.
Где ошибка???

проверим
b(b-a-c) = -c(b-a-c)
(b-a-c),
b-a-c=0.

Логический софизм: Последние годы нашей жизни короче, чем первые.
Известно старое изречение:
в молодости время идёт медленнее,
а в старости скорее.
Это изречение можно доказать математически.
Действительно, человек проживает
в течение тридцатого года 1/30 часть своей жизни,
в течение сорокового года - 1/40 часть,
в течение пятидесятого - 1/50 часть,
в течение шестидесятого - 1/60 часть.
Совершенно очевидно, что 1/30 > 1/40 > 1/50 > 1/60,
откуда ясно, что последние годы нашей жизни
короче первых.
Не подвела ли математика?

ПАРАДОКСЫ

Софизмы являются логически неправильными рассуждениями, выдаваемыми за правильные и доказательные.
Софизм – это обман.
Но обман тонкий и завуалированный,
так что его не сразу и не каждому удается раскрыть.
Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач.
Вывод:

Заключение
Их было десять чудаков,
Тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать
Таверны «Славный малый».
— Пусти, хозяин, ночевать,
Не будешь ты в убытке,
Нам только ночку переспать,
Промокли мы до нитки.
Хозяин тем гостям был рад,
Да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него
И девять лишь кроватей.
— Восьми гостям я предложу
Постели честь по чести,
А двум придется ночь проспать
В одной кровати вместе.
Лишь он сказал, и сразу крик,
От гнева красны лица:
Никто из всех десятерых
Не хочет потесниться.
Как охладить страстей тех пыл,
Умерить те волненья?
Но старый плут хозяин был
И разрешил сомненья.
Двух первых путников пока,
Чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер «А»
И подождать немного.
Спал третий в «Б», четвертый в «В»,
В «Г» спал всю ночь наш пятый,
В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег
С шестого по девятый.
Потом, вернувшись снова в «А»,
Где ждали его двое,
Он ключ от «И» вручить был рад
Десятому герою.
Хоть много лет с тех пор прошло,
Неясно никому,
Как смог хозяин разместить
Гостей по одному.
Иль арифметика стара,
Иль чудо перед нами,
Понять, что, как и почему,
Вы постарайтесь сами.