Связь непрерывности и дифференцируемости функций.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть ∃f’(x0) =
Тогда ,
следовательно, f(x) непрерывна в точке x0, ч. т. д.
Таким образом, дифференцируемость функции в точке является достаточным условием непрерывности функции в этой точке, то есть, если функция разрывна в точке x0, то она в ней не дифференцируема!

Примеры. 1) Функция f(x) = не дифференцируема в точке x0 = 1, так как она не определена в этой точке, следовательно, разрывна.
2) Функция f(x) = не дифференцируема в точке x0 = 0, так как она в ней разрывна (хоть и определена!).
Почему дифференцируемость функции в точке не является необходимым условием непрерывности в этой точке?
[Функции f(x) = |x| и h(x) =
непрерывны в нуле, но не дифференцируемы]

Теорема. Пусть существуют f’(x) и g’(x). Тогда существуют производные их суммы, произведения и частного, причем: 1) (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x);
2) (f(x)⋅g(x))’ = f’(x)g(x) + g’(x)f(x);
3) ,если g(x) ≠ 0.

Доказательство по определению:
Пусть тогда
h’(x) =

3) h(x) =
1)Найдите: f’(x); f’(±1); значения x | функция не дифференцируема
2) g(x) = (3 + x)(2 – ). Найдите: g’(x)
4)
3) h(x) =
. Докажите, что h’(x) =
. Найдите f’(x). При каких значениях x f’(x) > 0?