Тема урока:

Устная работа:
Последовательность уп задана формулой п- го члена уп = 5п + 1. Найти У1, У4, У20, У100.
Найти второй, пятый члены последовательности (ап), заданной формулой: а) ап = 2п – 1; б) ап =п – 2
2
в) ап = п² – 3;
Последовательность задана формулой:
ап = 15 - 3п. Найти номер члена последовательности, равного 6; 0; -3; -9.
4. Найти среднее арифметическое чисел 2 и 10; 3 и -5; 2, 3 и 7.

Прогрессии.
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

Выпишем последовательность, соответствующую условию задачи:
Джентльмен получил наследство. В первый месяц он истратил 100 долларов, а каждый следующий месяц он тратил на 50 долларов больше, чем в предыдущий. Сколько долларов он истратил за второй? За третий? За восьмой? За десятый?
последовательность:
100; 150; 200; 450; 550
Как получается второй член последовательности? третий? четвертый? и т.д.

Мастерская изготовила в январе 106 изделий, а каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в феврале? В марте? В августе? В декабре?
последовательности:
106; 118; 130; 190; 238
Как получается второй член последовательности? третий? четвертый? и т.д.

Тело в первую секунду движения прошло 27 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м меньше, чем за предыдущую. Какое расстояние прошло за вторую, третью, восьмую, десятую секунду?
последовательности:
27; 24; 21; 3; -3
Как получается второй член последовательности? третий? четвертый? и т.д.

Выписанные последовательности называются арифметическими прогрессиями.

Определение:
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
То есть, последовательность (ап) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие ап + 1 = ап + d, где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном п верно равенство
ап + 1 - ап = d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность.

Примеры:
Если а1 = 1 и d = 1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; …
Если а1 = 1 и d = 2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; …
Если а1 = -2 и d = -2, то получим арифметическую прогрессию: -2; -4; -6; -8; -10; …
Если а1 = 7 и d = 0, то получим арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; 7; 7; …

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен.

По определению арифметической прогрессии
а2 = а1 + d,
а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2 d,
а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + d = а1 + 3 d,
а5 = а4 + d = (а1 + 3d) + d = а1 + 4 d,
а6 = а1 + 5 d,
Чтобы найти ап нужно к а1 прибавить
d(п – 1), т.е.
ап = а1 + d(п – 1) -
формула п- го члена арифметической прогрессии

Примеры:

Отметим важное свойство арифметической прогрессии
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов