Теорема Пифагора

Катет
Гипотенуза
Прямоугольный треугольник –
это треугольник у
которого один
из углов прямой.
С = 90 - прямой
Катет
А
В
С

– это сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.
Гипотенуза
– это стороны прямого угла в прямоугольном треугольнике.
Катеты
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

А
В
С
в
а
с
S = а×в
(где а и в катеты)
А
С
В
а
с
в
h
S = c×h

S = S3 + S2 + S3
=
S1 = S2
a
a S = a²
Свойства степени
S1 S2 S3
S1
S2
S

Пифагор Самосский – философ, математик, религиозный и политический деятель, родился в VI веке до н.э. в г. Регия на острове Самос (остров в Эгейском море – территория Греции). С юного возраста Пифагор тянулся к знаниям и путешествиям.

В Южной Италии- г.Кротоне, Пифагор стал таким знаменитым, сделал свои открытия, основал Пифагорейскую школу, в которой было около 1900 учеников и последователей его учения.
В 18 лет он покинул родной остров и отправился в чужие края. Он побывал на Востоке в Египте, Вавилоне и Финикии.

В научных достижениях Пифагор прославился своей теоремой «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», а также учениями о числах. Он развил теорию о чётности и нечётности числа, изучил свойства целых чисел, создал теорию пропорций, внес большой вклад в развитие планиметрии.

Смерть Пифагора тоже окутана тайной, потому что достоверно сказать, как именно умер Пифагор, невозможно. Одни говорят, что он погиб в Метапонте, когда кто-то из знакомых ему людей поджег дом, в котором он находился со своими учениками. По другим данным, Пифагор умер от истощения в метапонтском святилище Муз «Сорок дней ничего не евши» (Дикеарх).

Есть и еще одна версия, в которой говорится о том, что Пифагор был убит в уличной схватке, во время народного восстания. Где здесь правда, а где ложь, уже не разобраться, вся его жизнь поросла легендами и былинами.
«Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом». Пифагор.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения.

Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С теоремой Пифагора мы уже познакомились. Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.

Раньше знаменитая теорема Пифагора звучала так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
Про картинку, иллюстрирующую эту теорему, сложена шутливая поговорка: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Что имелось ввиду?

Теореме Пифагора можно дать эквивалентную формулировку, применив понятие равносоставленных фигур.
Попробуем сформулировать теорему Пифагора по другому:
- Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.
Чтобы сформулировать теорему Пифагора в современном изложении, нам необходимо вспомнить, как находится площадь квадрата (нужно сторону квадрата возвести в квадрат).

Тогда площадь квадрата, построенного на гипотенузе – это квадрат гипотенузы, а площади квадратов, построенных на катетах – это квадраты катетов.
Теперь мы сможем сами дать ещё одну, современную формулировку теоремы Пифагора:
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
c
b
a
a
c
b
a
c
b
a
c
b
c
a
b
a)
б)
(a+b) = 2ab + c
C = a + b
2
2
2
2
2

А
AM = 3см, MN = 4см,
М N AM = ?см.
В C
Задача № 1

DB = 5см, DC = 4см,
AD = ?см
Задача №2
A B
D C

A
E
C F B
BE = 5см, BF = 3см,
AC = ?см
Задача №3

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приёмом.
Бечёвку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем её растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой. В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник называют египетским.
А
В
С
5
4
3

Пифагоровы треугольники – это прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами
Катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами :
a = 2k * m * n ,
b = k ( m - n ) ,
c = k ( m + n ) , где k, m u n – любые натуральные числа, такие, что m > n.

Задача № 489
Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле SABC = , где а – сторона треугольника.
Дано:
АВС – равносторонний, АВ = а
Доказать:
SABC =
А
В
В
С
1
а
а/2

Доказательство:
1) Проведём высоту ВВ , тогда АВВ и СВВ - прямоугольные
2) Т.к. АВВ - прямоугольный, то АВ = АВ + ВВ
(По теореме Пифагора), отсюда ВВ = АВ - АВ =
= а - =
ВВ = =
3) SABC = 1/2AC * BB = * a * =
Формула выведена, SABC =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2

Задача № 487
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17см, а основание равно 16см. Найдите высоту, проведённую к основанию.
Дано:
АВС – равнобедренный, ВВ АС, АВ = ВС = 17см, АС = 16 см
Найти:
ВВ - ?
А
С
В
В
1
1
1

Решение:
1) Известно, что высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, следовательно, АВ =В С=8см
2) Т.к. АВВ - прямоугольный, то АВ = АВ + ВВ
(по теореме Пифагора), отсюда ВВ = АВ - АВ
3) ВВ = 289 – 64 = 225
ВВ = = 15
Ответ: ВВ = 15 см
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Существует теорема, обратная теореме Пифагора:
Дано:
АВС , А В С - прямоугольный , С1=90 АВ = АС + ВС , АС=А1С1, ВС = В1С1
Доказать:
С – прямой
1
1
1
А
А
В
В
С
С
1
1
1
2
2
2

Вывод:
Доказано утверждение, обратное теореме Пифагора - если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то этот треугольник - прямоугольный.
А
В
С
с
а
C = a + b
b
2
2
2

1. п.п.54, 55
Доказательство теоремы Пифагора и ей обратной.
№493.
Найти и разобрать другие доказательства теоремы Пифагора.
Домашнее задание