Векторы.

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами(или коротко векторами).
Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила 8Н. На рисунке силу изображают отрезком со стрелой(рис.1). Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует в набранном масштабе числовому значению силы. Так на(рис.1) сила в 1Н изображена отрезком длиной 0,6 см, поэтому сила в 8Н изображена отрезком длиной 4,8 см.
Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора.
Рассмотрим произвольный отрезок. Его концы называются также граничными точками отрезка. На отрезке можно указать два направления: от одной граничной точки к другой и наоборот(рис.2). Чтобы выбрать одно из направлений, одну граничную точку отрезка назовем началом отрезка, а другую - концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.
Рис.1
1Н
А
В
8Н
Рис.2
Это интересно!!!

Определение: отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.
Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Нулевой вектор обозначается буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: ММ. Нулевой вектор обозначается также символом 0.
Длинной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ(вектор а) обозначается так: АВ (|а|). Длина нулевого вектора считается равной нулю: |0|=0.
Глава 1. Понятие вектора.

Коллинеарные вектора – нулевые вектора, лежащие либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
коллинеарные вектора
сонаправленные противоположно-направленные
а d
b c
а b
a c
b d
c d
сонаправленные
А
В
а
в
Пртивоположно-направленные
А
В
а
в
Векторы называются равными, если они сонаправленны и их длины равны.
а=d
,если
1.|а|=|d|
2. а d
Равенство векторов.

Если точка А-начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А(рис.3). Докажем следующее утверждение:
От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один.
В самом деле, если а-нулевой вектор, то искомым вектором является вектором ММ. Допустим, что вектор а нулевой, а точки А и В-его начало и конец. Проведем через точку М прямую p, параллельную АВ. На прямой p отложим отрезки MN и MN‘ тот, которой сонаправлен с вектором а. Из построения следует, что такой вектор только один.
замечание:
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Так обозначены, например, равные векторы скорости различных точек (рис.4). Иногда про такие вектора говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.
Откладывание вектора от данной точки.

№1. в прямоугольнике АВСД АВ=3см, ВС=4см, М-середина стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, ДС, МС, МА, СД, АС.
РЕШЕНИЕ:
АВСД-прямоугольник.
АВ=3см, ВС=4см, М-середина АВ.
|АВ|=3см
|ВС|=4см
|ДС|=3см
|МС|=МС=ВС+ВМ=16+225=√18,25
|МА|=1.5см
|СВ|=4см
|АС|=5см
А
В
С
Д
1.5
4
5
Задачки.

№2.В параллелограмме АВСД диагонали пересекаются в точке О.Равны ли векторы:1)АВ и ДС; 2)ВС и ДА; 3)АО и ОС; 4)АС и ВД.
РЕШЕНИЕ:
ДАНО:
АВСД-парал.
О-точка пересеч.диагоналей.
1) АВ=ДС
2)ВС=АД
3)АО=ОС
4)АС=ВД
А
В
С
Д
О

Рассмотрим пример: пусть материальная точка переместилась из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С. В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами АВ и ВС, материальная точка переместилась из точки А в точку С. Поэтому это перемещение можно представить вектором АС. Поскольку перемещение из точки А в точку С складывается из перемещения из А в В и перемещения из В в С, то вектор АС естественно называть суммой векторов АВ и ВС:АС=АВ+ВС.
А
В
С
Сложение и вычитание векторов.
Сумма двух векторов.

Пусть а и в-два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный в. Вектор АС называется сумма векторов а и в(рис.5).
ТЕОРЕМА: для любых векторов а,в и с справедливы равенства:
1. а+в=в+а (переместительный закон).
2. (а+в)+с=а+(в+с) (сочетательный закон).
а
в
а
в
А
В
С
Рис.5
а
а
в
в
а+в
А
В
С
Д
ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
Правило параллелограмма
Переместительный закон

От любой точки А отложим
вектор АВ=а, от точки В-
отложим вектор ВС=в, а от
точки С-вектор СД=с.
Применяя правило
треугольника, получим:
(а+в)+с=(АВ+ВС)+СД=АС+СД=АД,
а+(в+с)=АВ+(ВС+СД)=АВ+ВД=АД. Отсюда следует, что
(а+в)+с=а+(в+с).
а
в
с
а
в
с
А
В
С
Д
СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим способом:если А1,А2,…,АН-произвольные точки плоскости, то А1А2+А3А2+…+АН-1=А1АН.Это равенство справедливо для любых точек А1,А2,…,АН, в частности в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА
а1
а3
а2
а4
а5
а6
а1
а2
а3
а4
а5
а6
p
p
=а1+а2+а3+а4+а5+а6

Разность векторов а и в называется такой вектор, сумма которого с вектором в равна вектору а.
Разность векторов а и в обозначаются так: а-в.
ТЕОРЕМА: для любых векторов а и в справедливо равенство а-в=а+(-в).
Доказательство: По определению разности векторов (а-в)+в=а. прибавив к обеим частям этого равенства вектор (-в), получим
(а-в)+в+(-в)=а+(-в),или
(а-в)+0=а+(-в),откуда
а-в=а+(-в).
теорема доказана.
Вычитание векторов.

1.Турист прошел 20км на восток из города А в город В, а потом 30км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы АВ и ВС. Равны ли векторы АВ+ВС и АС?
Решение.
АВ=20км
ВС=30км
АС=50км, т.е АВ+ВС=АС,
получим АС=20км+30км=50км.
ЗАДАЧА 2.
Начертите попарно неколлинеарные вектора а,в,с,д,е и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор а+в+с+д+е.
Практические задания.
А
С
В
20
30
а
в
с
д
е
p

Задача 3. дан треугольник АВС. Выразите через векторы а=АВ и в=АС следующие векторы: а)ВА; в) СВ; с)СВ+ВА.
РЕШЕНИЕ:
А)векторы ВА и АВ-противоположные, поэтому ВА=-АВ, или ВА=-а.
В) по правилу треугольника СВ=СА+АВ. Но СА=-АС, поэтому
СВ=АВ+(-АС)=АВ-АС=а-в.
А
В
С