Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Πιθανότητα Ενδεχομένων
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Απλές Χρήσιμες Προτάσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Χρήσιμες Προτάσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Χρήσιμες Προτάσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Χρήσιμες Προτάσεις
Απόδειξη Πρότασης 3 με χρήση διαγραμμάτων Venn
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παραδείγμα 1
Αγορά 2 παιχνιδιών
Πιθανότητα το 1ο παιχνίδι να μας αρέσει 0.7
Πιθανότητα το 2ο παιχνίδι να μας αρέσει 0.4
Πιθανότητα να μας αρέσουν και τα δύο παιχνίδια είναι 0.2
Ποια η πιθανότητα να μη μας αρέσει κανένα παιχνίδι?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 2
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 2
0.5
0.2
0.1
Α
Β
Ω
0.2
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 2
0.5
0.2
Α
Β
Ω
0.3
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Ταυτότητα Εγκλεισμού-Αποκλεισμού
Η Πρόταση 3 μπορεί να γενικευθεί για ενώσεις περισσότερων των δύο συνόλων, ως έξής
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Ταυτότητα Εγκλεισμού-Αποκλεισμού
P(E) + P(F) + P(G)
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Δειγματικοί Χώροι με Ισοπίθανα Ενδεχόμενα
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 3
Πρόβλημα
Ρίψη Δύο Δίκαιων Εξάπλευρων Ζαριών.
Ποια η πιθανότητα τα ζάρια να φέρουν άθροισμα 4?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 3
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 4
Πρόβλημα
Σύνολο 10 ανθρώπων: 4 ανδρες & 6 γυναίκες
Επιλέγεται ένας άνθρωπος τυχαία.
Ποιά η πιθανότητα να είναι άνδρας?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 4
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 5
Για μία τάξη 260 φοιτητών γνωρίζουμε τα παρακάτω :
93 σπουδάζουν Αγγλικά
95 σπουδάζουν Φυσική
165 σπουδάζουν Μαθηματικά
18 σπουδάζουν Αγγλικά και Φυσική
75 σπουδάζουν Φυσική και Μαθηματικά
20 σπουδάζουν Μαθηματικά και Αγγλικά
15 φοιτητές σπουδάζουν Αγγλικα, Φυσική και Μαθηματικά
Ποια η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος φοιτητης να σπουδάζει α) Μαθηματικά, β) Μαθηματικά και Φυσική αλλά όχι Αγγλικά? γ) Μαθηματικά, Φυσική και Αγγλικά και δ) Μαθηματικά ή Αγγλικά ή Φυσική?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 5
A
M
Φ
15
60
3
5
70
85
17
|Α| = 93
|Φ| = 95
|Μ| = 165
|Ω| = 260
Ω
5
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 5
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 5
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 5
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 6
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 6
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 6
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 7
Πρόβλημα
Σύνολο 10 ανθρώπων: 4 ανδρες & 6 γυναίκες
Επιλέγονται δύο άνθρωποι τυχαία.
Ποιά η πιθανότητα να να επιλεγούν ένας άνδρας και μία γυναίκα?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 7
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 7
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 8
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 8
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 9
Ρίψη Ζαριού 5 φορές
Ποια η πιθανότητα να μη φέρω κανένα 1?
Ορισμός Ενδεχομένων
Ε: Δε φέρνω 1 σε καμία ρίψη
Ε1: Φέρνω 1 στην 1η ρίψη
Ε2: Φέρνω 1 στη 2η ρίψη
Ε3: Φέρνω 1 στην 3η ρίψη
Ε4: Φέρνω 1 στην 4η ρίψη
Ε5: Φέρνω 1 στην 5η ρίψη
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 9
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 9
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 9
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 10
Πρόβλημα
Σε μία κούρσα 8 δρομέων (Α, Β, C.., Η) θεωρούμε πως όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα
Ποιά η πιθανότητα να κερδίσει ο Α?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 10
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 10
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 10
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 11
Πρόβλημα
Σε μία κούρσα 8 δρομέων (Α, Β, C.., Η) θεωρούμε πως όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα
Ποια η πιθανότητα να ανέβουν στο βάθρο οι Α, Β και C?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 11
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 11
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 11
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 11
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 12
Πρόβλημα
6 παιδιά (Α, Β, C, D, E, F) θα μπουν τυχαία σε μία σειρά για να πάρουν το δεκατιανό τους
Ποια η πιθανότητα το παιδί F να πάρει το φαγητό του νωρίτερα από το παιδί Β και το παιδί Β να πάρει το φαγητό του νωρίτερα από το παιδί D;
Λύση
Δειγματικός χώρος: Οι μεταθέσεις των 6 παιδιών, |Ω| = 6!
Ευνοϊκό ενδεχόμενο Ε: Οι μεταθέσεις των παιδιών στις οποίες το F προηγείται του Β και το B προηγείται του Η
Πόσες είναι αυτές οι μεταθέσεις;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 12
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 12
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 13
Πρόβλημα
Δέκα κουτιά και ένα από αυτά έχει το μοναδικό δώρο
Κάθε κουτί έχει την ίδια πιθανότητα να έχει το δώρο
Επιλέγουμε τρία κουτιά
Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε το δώρο;
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 13
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 13
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 14
Πρόβλημα
Μία πενταμελής ομάδα φοιτητών πρόκειται να σχηματιστεί τυχαία από ένα σύνολο 6 αντρών και 9 γυναικών
Ποια η πιθανότητα η επιτροπή να σχηματίζεται από τρεις αντρες & δύο γυναίκες?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 14
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 15
Πρόβλημα
Επιλέγουμε τυχαία τρεις μπάλες από ένα δοχείο με τέσσερεις μαύρες και πέντε λευκές
Ποια η πιθανότητα να έχουμε τραβήξει μία λευκή και δύο μαύρες μπάλες
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 15
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 15
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 15
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 15
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 15
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 16
Πρόβλημα
Έξι άτομα μεταξύ των οποίων η Άννα και ο Γιώργος θα κάτσουν σε ένα κυκλικό τραπέζι έξι θέσεων
Ποια η πιθανότητα η Άννα και ο Γιώργος να κάθονται σε διπλανές θέσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 16
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 16
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 16
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 17
Πρόβλημα
Ποια η πιθανότητα για φουλ στο πόκερ με 5 φύλλα?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 17
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 18
Πρόβλημα
Μία τράπουλα μοιράζεται τυχαία σε 4 παίκτες (Α, Β, Γ, Δ).
α) Ποια η πιθανότητα ο παίκτης Α να έχει όλους τους άσσους?
β) Ποια η πιθανότητα ένας παίκτης να έχει όλους τους άσσους?
γ) ποια η πιθανότητα κάθε παίκτης να έχει από έναν άσσο?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 18
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 18
Πρόβλημα
Μία τράπουλα μοιράζεται τυχαία σε 4 παίκτες (Α, Β, Γ, Δ).
β) Ποια η πιθανότητα ένας παίκτης να έχει όλους τους άσσους?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 18
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 18
Πρόβλημα
Μία τράπουλα μοιράζεται τυχαία σε 4 παίκτες (Α, Β, Γ, Δ).
γ) Ποια η πιθανότητα κάθε παίκτης να έχει από έναν άσσο?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 18
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 18
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 19
Πρόβλημα
An n άτομα είναι παρόντα σε ένα δωμάτιο, ποια η πιθανότητα να μην υπάρχει ζεύγος ατόμων με την ίδια μέρα γενεθλίων.
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 19
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 20
Πρόβλημα
Από ένα σύνολο 20 φοιτητών με 10 άντρες και 10 γυναίκες θα προκύψουν με τυχαία κλήρωση 10 ζεύγη για μία συνεργατική εργασία
Ποια η πιθανότητα κανένα από τα ζευγάρια να μην περιέχει έναν άντρα και μία γυναίκα?
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 20
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 20
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες

Παράδειγμα 20
Ποσοτικές Μέθοδοι στην Οικονομία και Διοίκηση Ι - Διδακτική Ενότητα Γ: Πιθανότητες