Элементарные возбуждения и энергетический спектр конденсированного тела (лекции 15)

Колебания кристаллической решетки
Колебания в одномерной цепочке (один атом в ячейке)
n
n-1
n+1
Вид продольных колебаний:

k
ω
При
(длинные волны) :
акустическая ветвь
Некоторые оценки :
a~10 –8 cм;
это обычные звуковые волны в кристалле

M
M
m
m
M
Колебания в одномерной цепочке (два атома в ячейке)
Исходные уравнения колебаний атомов:
Решение уравнений колебаний атомов:
асинфазные колебания (в противофазе) – оптическая ветвь
синфазные колебания (в фазе) – акустическая ветвь

- оптическая ветвь
- акустическая ветвь
Акустические и оптические моды

Фононы в конденсированном теле
Понятие фононов
T1
ε, p
Элементарными возбуждениями
в кристаллических телах являются коллективные смещения атомов решетки из положений равновесия
Тепловое возбуждение конденсированного тела
Переход от индивидуальных движений атомов к коллективным степеням свободы
В любой системе взаимодействующих атомов элементарными возбуждениями
(если система возбуждена достаточно слабо, например, находится при низких
температурах) являются коллективные смещения атомов из положений равновесия.
T1 > T2
!!!
Теорема:
T2

Фононный газ
ФОНОНЫ (И.Е.Тамм, 1930г.) – низколежащие (по энергетическим уровням) коллективные возбуждения кристаллической решетки
В конденсированном теле при нулевой температуре фононы отсутствуют (положение атомов в узлах – основное состояние конденсированного тела - является вакуумом для фононов), а их появление связано с нагревом тела
С ростом температуры число фононов растет и их число в коллективном движении атомов является весьма большой (макроскопической) величиной. Таким образом, возникает картина большого числа фононов как носителей коллективного возбуждения конденсированного тела. Поскольку фононы могут возбуждаться поодиночке, а значит, имеют целый спин, то они являются бозе-частицами и подчиняются в ансамбле статистике Бозе-Эйнштейна. Следует также заметить, что введение фононов только тогда имеет смысл, если они между собой либо вообще не взаимодействуют, либо взаимодействуют слабо. Следовательно, сам ансамбль фононов можно рассматривать как газ. В этом случае общую энергию конденсированного тела можно рассматривать как сумму энергии основного состояния – энергия связи атомов в положении равновесия и энергия нулевых (квантовых) колебаний атомов (вакуум для фононов) и суммы энергий отдельных фононов:
В кристаллах может быть несколько типов фононов (например, акустические и оптические, причем при наличии в ячейке j атомов – 3j типов фононов

В состоянии термодинамического равновесия среднее число фононов
ветви i с волновым вектором
С точки зрения квантовой (и классической) механики, нормальные колебания решетки ведут себя как набор независимых гармонических осцилляторов. Роль координаты осциллятора играет при этом амплитуда колебания, число фононов является уровнем энергии осциллятора
На каждое колебание приходится средняя энергия
При высоких температурах
число фононов пропорционально температуре
.
.
среднее число фононов экспоненциально мало:
Если

Статистика и плотность состояний фононов
Свободная энергия тела есть:
- плотность состояний фононов (число состояний фононов на интервал частот ).

Теплоемкость кристаллической решетки
Нужно знать !!!
1). случай высоких температур
закон Дюлонга-Пти

2) случай низких температур
=
Число собственных колебаний в спектре с абсолютными значениями в интервале Минимальный объем, приходящийся на одно значение равен (V – объем тела), следовательно, число мод в интервале есть:
Для акустических фононов , поэтому получаем
(двойка в последней формуле отражает две поляризации поперечных акустических фононов). Отсюда получаем:

закон Дебая, 1912г.

Дюлонг-Пти
Дебай
- температура Дебая
- дебаевская частота
Почти всех веществ температура Дебая существенно ниже температуры плавления. Вместе с тем, существуют кристаллы (в частности, He под давлением), когда выполняется условие ( -
температура плавления). В этом случае, очевидно, невозможно классическое описание поведения атомов конденсированного тела.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
q (тепловой поток)
Th
Tc
L
- коэффициент теплопроводности
Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности в конденсированном теле – фононный механизм переноса тепла
- закон Фурье
Фононная теплопроводность диэлектриков

Уравнения движения в приближении ближайших соседей:
Решения уравнений движения:
Гармоническое приближение – фононы не взаимодействуют !!!

Взаимодействие фононов
Взаимодействие фононов – эффект негармоничности колебаний конденсированного тела – нет параболической потенциальной ямы
Негармоничность
(ангармоничность)

Механизмы рассеяния фононов:
Рассеяние на границах образца;
Рассеяние на дислокациях и дефектах; Фонон-фононное рассеяние
0.01
0.1
1.0
d
T
∝
границы
фононное
рассеяние
дефекты
Увеличение концентрации
дефектов