ФОМНЭ_2022_Лекция № 2

Основные особенности и принципы квантовой механики. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
Понятие о зонной теории твердых тел. Основные положения
Образование энергетических зон
Особенности зонной схемы
Деление твердых тел на проводники, полупроводники и диэлектрики
Электропроводность металлов и полупроводников
Собственная и примесная проводимость полупроводников
Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Основные особенности и принципы квантовой механики.
Луи де Бройль
1892 - 1987
Гипотеза де Бройля (1924) – корпуску-лярно-волновой дуализм присущ не только оптическим явлениям, но имеет универ-сальное значение. Частицы вещества наряду с корпускулярными также имеют волновые свойства. Де Бройль перенёс на случай частиц вещества те же правила перехода от классической картины мира к квантово-механической, какие справедли-вы для света. Свет можно представить как фотоны с энергией:
где
- приведенная постоянная Планка (постоянная Дирака)
- постоянная Планка
Импульс фотона света -
где
- длина волны света.

В нерелятивистском случае:
При этом
В релятивистском случае:
Волны де Бройля не являются электромагнитными, это волны особой природы.

.
Движение электрона или другой микрочастицы можно представить как суперпозицию плоских гармонических волн, образующих волновой пакет. Значение волновых чисел этих волн должны быть заключены в пределах Δk, причем Δk не велико. Максимум амплитуды результирующей волны перемещается с групповой скоростью. Наиболее вероятное местонахождение микрочастицы совпадает с центром групповых волн, поэтому волновая скорость является скоростью перемещения микрочастицы.
Схема опыта, демонстрирующего интерференцию электронов
Интерференционная картина:
а – рентгеновское излучение;
б – электронный пучек
(приведена оригигальная фотография, полученная Дж. П. Томпсоном в 1927 г.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга
В классической механике состояние материальной точки определяется координатами, энергией, импульсом и т.д. Эти величины имеют строго определенные значения и могут быть измерены с какой угодно точностью. Указанные величины называются динамическими переменными и не могут быть приписаны микрообъекту.
Информацию о микрочастицах получают при наблюдении их взаимодействия с приборами (макрообъектами). Поэтому результаты измерений приходится выражать в терминах, применяемых к характеристикам макротел.
Измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам, но своеобразие микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных при измерениях получаются определённые значения. В частности, электрон не может иметь одновременно точное значение координаты «x» и проекции импульса на ось OX px.

Утверждение о том, что произведение неопределенности значений двух сопряженных величин не может быть по порядку меньше h, называется принципом неопределенности Гейзенберга. Кроме координат и импульсов сопряженными являются энергия и время:
Корпускулярный подход требует, чтобы частицу можно было локализовать в пространстве и времени. В этом случае волновое поле должно иметь ограниченную протяженность. Это означает, что невозможно определить длину волны.
Чем меньше неопределенность одной из переменных, тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние микрочастицы, когда одна величина точно определена, а другая оказывается совершенно неопределенной (ее неопределенность равна ∞).
Вернер Гейзинберг
1901 - 1976
Соотношение вида принято называть соотношением неопределенности Гейзенберга, где величины a и b должны быть канонически сопряженными.

Соотношения неопределенности Гейзенберга показывают, что волновая механика дает возможность одновременно использовать два, казалось бы, противоречащих друг другу понятия для описания физических явлений - плоской однородной бесконечно протяженной волны и локализованной корпускулы. Эти два столь различных понятия никогда не вступают в противоречие между собой; один из аспектов всегда ослабевает, когда усиливается другой.
Рассмотрим понятие траектории.
При увеличении массы m уменьшаются и
Для электрона = 1Å = 7.27·106 м/с
Радиус орбиты электрона R = 0.5 Å,
при этом = 2.3·106 м/с
Неопределённость скорости больше чем сама скорость.
У электрона в атоме неопределённость скорости больше самой скорости, поэтому строго говорить о траектории электрона в вакууме нельзя, используют понятие электронное облако.
Принцип неопределенности отнюдь не отрицает существования импульса и координаты как точных физических величин; он только утверждает, что эти величины не существуют одновременно как точные. Каждая из них в отдельности может быть измерена, или задана, сколь угодно точно.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам
1. Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя.
2. При рассмотрении движения квантового объекта во многих случаях отказываемся от понятия траектории
3. Часто теряет смысл деления энергии на кинетическую и потенциальную (первая зависит от импульса, вторая от координат, которые не могут быть измерены одновременно).

Понятие о зонной теории твердых тел.
Основные положения
Твердое тело – многоядерная и многоэлектронная система, в которой действуют электростатические (кулоновские) силы. Магнитное взаимодействие значительно слабее и вносит лишь небольшие поправки.
Допущения:
1) адиабатическое приближение – деление системы на легкие и тяжелые частицы. Тогда скорость движения ядер много меньше скорости движения электронов. Ядра рассматриваются как неподвижные.
2) полагают, что рассматриваемый «выделенный» электрон находится в усредненном заданном внешнем поле –сферически симметричном поле, образованным всеми другими электронами и ядром. Такое поле называют «самосогласованным».

Образование энергетических зон
При образовании кристалла происходит сближение атомов; связь электронов с собственным ядром ослабляется: происходит обобществление электронов.
время жизни электрона в определённом узле;
ΔE ─ ширина энергетического уровня.

Расщепление уровня в зону

Зонная схема

Особенности зонной схемы
Зоны энергетических уровней образуются как уровнями,
занятыми электронами, так и свободными уровнями.
В изолированном атоме дискретные уровни энергии разделены областями недозволенных значений энергии. Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергии (запрещенными зонами). Ширина запрещенных зон соизмерима с шириной разрешенных зон. С увеличением энергии ширина разрешенных зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.
В изолированном атоме дозволенные энергетические уровни могут быть заняты электронами или свободны. В кристалле может быть различное заполнение зон. В отдельных случаях они могут быть целиком свободны или целиком заняты.
В изолированном атоме электроны могут переходить с одного уровня на другой. В кристалле электроны могут переходить из одной разрешенной зоны в другую, а также совершать переходы внутри одной и той же зоны.
Особенно сильно расщепляются вышележащие энергетические уровни, и особенно, уровни с внешним валентным электроном. Эта зона называется валентной. Разрешенная зона, лежащая над валентной, называется зоной проводимости.

Деление твердых тел на проводники, полупроводники и диэлектрики
С позиций зонной теории различие в электрических свойствах твердых тел объясняется:
а) шириной запрещенных зон;
б) различным заполнением электронов разрешенных энергетических зон, а именно валентной зоны.
Необходимое условие проводимости ─ наличие свободных электронов в валентной зоне.
В зависимости от степени заполнения
валентной зоны электронами и ширины
запрещенной зоны кристаллы
подразделяются на металлы,
полупроводники и диэлектрики.

Электропроводность металлов
Согласно квантовой теории проводимость металлов
время релаксации.
В проводимости участвуют не все электроны, а только те из них, которые имеют энергию вблизи уровня Ферми. Это – малая часть всех свободных электронов
Физическая причина электрического сопротивления – рассеяние электронных волн на примесях и дефектах решетки, а также на ее тепловых колебаниях.

Зонная схема металлов, полупроводников и диэлектриков

Собственная проводимость полупроводников
У полупроводников и диэлектриков валентная зона полностью заполнена электронами. При T = 0 K они могут принять участие в проводимости, если им сообщить энергию, превышающую энергию запрещенной зоны и они перейдут в свободную зону. Свободная зона станет для них зоной проводимости.
Уровень Ферми, как показывает расчет, расположен в собственных полупроводниках и диэлектриках посередине запрещенной зоны и не связан с реальным электроном.
Собственная проводимость полупроводников зависит от температуры по закону
Наиболее важными собственными полупроводниками являются кремний (Si Z=14) и германий (Ge Z=32).

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Ковалентная связь в Ge

Донорные уровни

Акцепторные уровни