Характеры линейных групп

Актуальность
Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики, физики и др.
Линейные группы играют важную роль в теории групп и ее приложениях.
Именно этим обуславливается актуальность и выбор темы исследования «Характер линейных групп».

Объект исследования: линейные группы.
Предмет исследования: характеры линейных групп.
Цель исследования: построение таблиц характеров линейных групп в системе GAP и их изучение.
Задачи исследования:
Анализ литературы по теме исследования;
Изучение системы GAP;
Определение и поиск степеней характеров линейных групп в системе GAP.
Анализ и классификация построенных таблиц характеров.

Начальные сведения
Обозначение GL является сокращением от General Linear Group (Общая линейная группа)

Начальные сведения

Начальные сведения

Линейное представление группы

Линейное представление группы
Типы представлений:
Представление группы в пространстве которого есть собственное инвариантное подпространство называется приводимым; в противном случае — неприводимым или простым.
Если G ― топологическая группа, то под представлением G обычно понимается непрерывное линейное представление группы G в топологическом векторном пространстве.

Характеры групп

Таблица характеров групп

Характеристика системы GAP
Cистема поставляется вместе с исходными текстами, которые написаны на двух языках: ядро системы написано на Си, а библиотека функций - на специальном языке, также называемом GAP, который по синтаксису напоминает Pascal, однако является объектно-ориентированным языком. Помимо уже упомянутых пакетов, система состоит из следующих четырех основных компонент:
ядра системы, обеспечивающего поддержку языка GAP, работу с системой в программном и интерактивном режиме;
библиотеки функций, в которой реализованы разнообразные алгебраические алгоритмы (более 4000 пользовательских функций, более 140000 строк программ на языке GAP);
библиотеки данных, включая, например, библиотеку всех групп порядка не более 2000 (за исключением 49487365422 групп порядка 1024, точное количество которых, кстати, также было определено с помощью системы GAP), библиотеку примитивных групп подстановок, таблицы характеров конечных групп и т.д., что в совокупности составляет эффективное средство для выдвижения и тестирования научных гипотез;
обширной (около полутора тысяч страниц) документации, доступной в разнообразных форматах (txt, pdf, html), а также через Интернет.

Применение системы GAP
С помощью системы GAP можно производить операции над группами и их элементами. Приведем несколько примеров, которые помогут нам составить программу для нахождения таблиц характеров линейных групп:
Система GAP может находить порядок группы;
Проверяет, является ли группа общей линейной группой, специальной линейной группой, проективной специальной линейной группой;

Применение системы GAP
Дает список нормальных подгрупп группы;
Также в ней была введена новая функция StructureDescription для вычисления структурных описаний конечных групп;

Применение системы GAP
Можно построить таблицу характеров группы;

Применение системы GAP
Помимо этого пользователи могут создавать своих собственные программы на этом языке;
gap> s := 0;;
gap> for i in [1..100] do
> s := s + i;
> od;
gap> s;
5050

Примеры характеров линейных групп
Таблица характеров линейной группы порядка 1: GL(1,2)
Таблица характеров линейной группы порядка 2: GL(1,3)

Примеры характеров линейных групп
Таблица характеров линейной группы порядка 11232: GL(3,3)

Свойства характеров линейных групп

Свойства характеров линейных групп

Свойства характеров линейных групп

Свойства характеров линейных групп

Заключение