Лекция 4(ОИ) (студентам)

Содержание

Слайд 2

Операционное исчисление. Изображение элементарных функций-оригиналов.

По теореме смещения для любого комплексного λ

Так как

Поэтому

Операционное исчисление. Изображение элементарных функций-оригиналов. По теореме смещения для любого комплексного λ Так как Поэтому

Слайд 3

Операционное исчисление. Изображение элементарных функций-оригиналов.

Аналогично

Поэтому

Операционное исчисление. Изображение элементарных функций-оригиналов. Аналогично Поэтому

Слайд 4

Операционное исчисление. Изображение элементарных функций-оригиналов.

В результате подобных рассуждений получаем таблицу простейших оригиналов и

Операционное исчисление. Изображение элементарных функций-оригиналов. В результате подобных рассуждений получаем таблицу простейших оригиналов и их изображений
их изображений

Слайд 5

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Теорема 17 (первая теорема разложения). Если

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Теорема 17 (первая теорема
функция F(p) аналитична в окрестности ∞, имеет в ∞ нуль, то она является изображением. При этом, если

– ее разложение Лорана в окрестности ∞, то

Доказательство. Покажем, что ряд

(1)

сходится для любого действительного t и представляет собой функцию-оригинал.

Слайд 6

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Пусть F(p) аналитична в области |p|>R.

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Пусть F(p) аналитична в
Выберем произвольное число
Тогда ряд

сходится (это – значение функции F(p) в точке R1) и потому последовательность

ограничена, т.е. существует такое M, что

откуда

Слайд 7

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Тогда получаем

Выражение справа – это общий

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Тогда получаем Выражение справа
член ряда, сходящегося при любом значении t.
По признаку сравнения ряд (1) сходится абсолютно для всех значений t, и

т.е. функция f(t) имеет ограниченный рост.
Функция f(t), представимая степенным рядом, является непрерывной. Найдем ее изображение. Изображение существует, если в равенстве

можно перейти к пределу при n стремящемся к ∞.

(2)

Слайд 8

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Положим

Тогда

Если Rep=σ≥R2>R1, то

при T стремящемся к

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Положим Тогда Если Rep=σ≥R2>R1,
∞.

Слайд 9

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Значит, интеграл

сходится равномерно по n. Поэтому

и,

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Значит, интеграл сходится равномерно
переходя в равенстве (2) к пределу по n, получаем

Что и требовалось доказать.

Слайд 10

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Теорема 18 (вторая теорема разложения –

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Теорема 18 (вторая теорема
случай простых корней). Пусть изображение F(p) представляет собой дробно-рациональную функцию

где mТогда

Доказательство. Разложим F(p) на простейшие дроби

(3)

Слайд 11

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Найдем коэффициенты ck

Подставляем их в (3),

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Найдем коэффициенты ck Подставляем
получаем

Учитывая что

Что и требовалось доказать.

Слайд 12

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Теорема 19 (вторая теорема разложения –

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Теорема 19 (вторая теорема
случай кратных корней). Пусть изображение F(p) представляет собой дробно-рациональную функцию

где mТогда

где

Слайд 13

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Доказательство. Разложение функции F(p) на простейшие

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Доказательство. Разложение функции F(p)
дроби имеет вид

Умножаем обе части на

Тогда
Последовательно дифференцируем (5) по p и каждый раз после дифференцирования придаем p значение pi

(5)

(4)

…,

Слайд 14

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Подставляя эти выражения в (4), получаем

Так

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Подставляя эти выражения в
как

то окончательно получаем

Что и требовалось доказать.

Слайд 15

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

Теорема 19 (третья теорема разложения). Пусть

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды. Теорема 19 (третья теорема
F(p) – функция комплексного аргумента, аналитическая в С всюду, кроме некоторой конечной или счетной последовательности точек p1, p2,…, являющихся ее изолированными особыми точками, причем все эти точки расположены в некоторой левой полуплоскости Rep≤σ0.
Пусть:
Существует такая последовательность радиусов
что

2) Функция F(p) абсолютна интегрируема вдоль любой вертикальной прямой Rep=σ, σ>σ0.
Тогда F(p) является изображением и

Слайд 16

Доказательство. Условия теоремы позволяют утверждать, что F(p) является изображением, оригинал для которого

Доказательство. Условия теоремы позволяют утверждать, что F(p) является изображением, оригинал для которого
может быть получен по формуле обращения.
Рассмотрим контур Гn, состоящий из отрезка прямой Rep=σ и дуги Cn окружности

Операционное исчисление. Разложение оригиналов и изображений в ряды.

которая расположена слева от указанной прямой.

Имя файла: Лекция-4(ОИ)-(студентам).pptx
Количество просмотров: 38
Количество скачиваний: 0