Лекция 4(ОИ) (студентам)

Операционное исчисление.
Изображение элементарных функций-оригиналов.
По теореме смещения для любого комплексного λ
Так как
Поэтому

Операционное исчисление.
Изображение элементарных функций-оригиналов.
Аналогично
Поэтому

Операционное исчисление.
Изображение элементарных функций-оригиналов.
В результате подобных рассуждений получаем таблицу простейших оригиналов и их изображений

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 17 (первая теорема разложения). Если функция F(p) аналитична в окрестности ∞, имеет в ∞ нуль, то она является изображением. При этом, если
– ее разложение Лорана в окрестности ∞, то
Доказательство. Покажем, что ряд
(1)
сходится для любого действительного t и представляет собой функцию-оригинал.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Пусть F(p) аналитична в области |p|>R. Выберем произвольное число
Тогда ряд
сходится (это – значение функции F(p) в точке R1) и потому последовательность
ограничена, т.е. существует такое M, что
откуда

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Тогда получаем
Выражение справа – это общий член ряда, сходящегося при любом значении t.
По признаку сравнения ряд (1) сходится абсолютно для всех значений t, и
т.е. функция f(t) имеет ограниченный рост.
Функция f(t), представимая степенным рядом, является непрерывной. Найдем ее изображение. Изображение существует, если в равенстве
можно перейти к пределу при n стремящемся к ∞.
(2)

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Положим
Тогда
Если Rep=σ≥R2>R1, то
при T стремящемся к ∞.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Значит, интеграл
сходится равномерно по n. Поэтому
и, переходя в равенстве (2) к пределу по n, получаем
Что и требовалось доказать.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 18 (вторая теорема разложения – случай простых корней). Пусть изображение F(p) представляет собой дробно-рациональную функцию
где m
Тогда
Доказательство. Разложим F(p) на простейшие дроби
(3)

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Найдем коэффициенты ck
Подставляем их в (3), получаем
Учитывая что
Что и требовалось доказать.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 19 (вторая теорема разложения – случай кратных корней). Пусть изображение F(p) представляет собой дробно-рациональную функцию
где m
Тогда
где

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Доказательство. Разложение функции F(p) на простейшие дроби имеет вид
Умножаем обе части на
Тогда
Последовательно дифференцируем (5) по p и каждый раз после дифференцирования придаем p значение pi
(5)
(4)
…,

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Подставляя эти выражения в (4), получаем
Так как
то окончательно получаем
Что и требовалось доказать.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 19 (третья теорема разложения). Пусть F(p) – функция комплексного аргумента, аналитическая в С всюду, кроме некоторой конечной или счетной последовательности точек p1, p2,…, являющихся ее изолированными особыми точками, причем все эти точки расположены в некоторой левой полуплоскости Rep≤σ0.
Пусть:
Существует такая последовательность радиусов
что
2) Функция F(p) абсолютна интегрируема вдоль любой вертикальной прямой Rep=σ, σ>σ0.
Тогда F(p) является изображением и

Доказательство. Условия теоремы позволяют утверждать, что F(p) является изображением, оригинал для которого может быть получен по формуле обращения.
Рассмотрим контур Гn, состоящий из отрезка прямой Rep=σ и дуги Cn окружности
Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
которая расположена слева от указанной прямой.