Подход Лагранжа

2) Уравнение непрерывности по Лагранжу
Уравнение непрерывности выражает закон сохранения вещества
Рассмотрим сохранение вещества для выделенного элемента
жидкости
Длины элементов фиксируются мгновенно в
соответственные моменты времени

3) Уравнение движения по Лагранжу
Выделенный элемент dx испытывает ускорение
Находится под действием разности сил давления
и p(x+dx)
p(x)
С учетом действия еще и массовой силы dm⋅f(x, t) по 2-му закону
Ньютона имеем, соотнося элементу значение координаты
Так как dm=ρΔSdx ,
получаем

Из закона сохранения вещества
Поэтому
4) Решение задачи
По условиям задачи
Уравнение движения
дает
Величину начального распределения скорости
Найдем из
заданного поля скоростей
заменой x→

Отсюда имеем связь лагранжевой координаты x
c ее начальным значением
Цель решения – нахождение распределения плотности частиц
Эта величина входит в закон сохранения вещества:
(1)
(2)
Из (1) дифференциированием
получаем

Обозначая исходное распределение плотности
имеем окончательно
5) Обсуждение и выводы
Вместо можно рассмотреть используя (1)
Однако в этом случае вследствие зависимости x от t не
удается установить распределения плотности в фиксированные
моменты времени
Формула показывает изменения распределения плотности частиц
по координате начальных положений со временем, в частности
предсказывает возникновение сингулярных особенностей при

Сингулярности плотности (с разрывом и появлением нефизических
решений ρ<0) возникают в разные моменты времени в разных точках.
Первый разрыв имеет место в точке в момент времени
Распределение плотности в начальные моменты

Типичные картины сингулярностей плотности

Пересечения лагранжевых траекторий частиц
в разных точках, в разное время

Изменение местоположения x0(x,t) частиц с разными лагранжевыми координатами x со временем. Явная демонстрация эффекта
группирования.

Продолжение предыдущего рисунка