Применение полярных координат для определения местоположения материальной точки

СОДЕРЖАНИЕ
ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ, АКТУАЛЬНОСТЬ
ВВЕДЕНИЕ
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЕ КРИВЫХ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ТРЁХМЕРНОЕ РАСШИРЕНИЕ
ПРИМЕНЕНИЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ

ЦЕЛИ: изучение полярной системы координат и приобретение навыка нахождения положения точки с помощью полярных координат.
ЗАДАЧИ: изучить полярную систему координат, охарактеризовать процесс нахождения материальной точки с помощью полярных координат.
АКТУАЛЬНОСТЬ: данная тема актуальна, так как не изучается в школьной программе, несмотря на то, что не все графики удобно строить в декартовой системе.

ВВЕДЕНИЕ
Полярная система координат - двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

1. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r (радиальная координата, встречается вариант обозначения р) и φ (угловая координата, полярный угол, фазовый угол, азимут, позиционный угол, иногда пишут О или t). Координата r соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата φ равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называемому полярной осью системы координат).

2. УРАВНЕНИЕ КРИВЫХ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число z может быть записано в прямоугольной форме так:
z=x+iy, где i - мнимая единица,
или в полярной:
z=rcdot (cos φ +isin φ)
и отсюда:
z=reiφ, где e - число Эйлера

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Используя полярные координаты, также можно сформулировать следующие операции математического анализа:
Дифференциальное исчисление
Интегральное исчисление
Векторный анализ

5. ТРЁХМЕРНОЕ РАСШИРЕНИЕ
Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением ещё одной координаты расстояния, а сферическая - ещё одной угловой координаты.

6. ПРИМЕНЕНИЕ
В позиционировании и навигации: полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки;
В физике: существенное удобство полярные координаты предоставляют при работе с системами, имеющими точечные (или приближенно точечные) источники энергии;
В прикладных целях: в разных прикладных областях, полярные координаты применяются как способами, близкими к применяемым в соответствующих областям фундаментальной физики, так и самостоятельным образом;
В диаграммах направленности: полярные диаграммы могут использоваться для представления практически любых зависимостей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Кроме того, многие физических системы - такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра - гораздо проще моделировать в полярных координатах.