Сопромат + литература

Сопротивление материалов –
наука о прочности и деформируемости
элементов (деталей)
сооружений
и машин

Литература
1. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов.
2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.
3. Петрухин Г.Г. Сопротивление материалов. Контрольные задания. Руководство к решению задач. - Новогорск: АГЗ, 1998.
4. Закатов М.М., Курбатский М.И., Монтвила С.П. Руководство к лабораторным работам по дисциплине «Механика». Часть I. – Химки: АГЗ МЧС России, 2009, 68 с.
5. Курбатский М.И. Механика. Энциклопедический словарь. Часть I. Теоретическая механика и сопротивление материалов. Учебное пособие

Задачи сопротивления материалов
Первая задача - расчет элементов конструкций на прочность.
Прочность - способность детали
сопротивляться разрушению или возникновению пластических деформаций под действием приложенных к ней нагрузок

Задачи сопротивления материалов
Вторая задача - расчет элементов конструкций на жесткость
Жесткость - способность материала или элемента конструкции воспринимать нагрузку без существенного изменения геометрических размеров

Задачи сопротивления материалов
Третья задача - расчет элементов конструкций на устойчивость

Классификация сил
Внешние силы: активные (нагрузки) и реактивные (реакции связей).
Объемные силы – силы, действующие на каждый бесконечно малый элемент объема. К ним относятся силы тяжести и силы инерции, возникающие при ускоренном движении.
Поверхностные силы - нагрузки, передающиеся от одних элементов конструкции к другим.
Делятся на сосредоточенные и распределенные.
Нагрузки, распределенные по некоторой поверхности, характеризуются давлением, т. е. отношением силы, действующей на элемент поверхности нормально к ней, к площади данного элемента. Выражаются в паскалях.
Распределенная по длине нагрузка характеризуется интенсивностью, обозначаемой обычно q. Выражается в единицах силы, отнесенных к единицам длины: Н/м.

Классификация сил
По характеру изменения во времени различают:
- статические нагрузки, нарастающие медленно и плавно от нуля до своего конечного значения;
- повторные нагрузки, многократно изменяющиеся во времени по тому или иному закону;
- нагрузки малой продолжительности, прикладываемые к конструкции сразу или даже с начальной скоростью в момент контакта (динамические или ударные).

Связи и их реакции
Опора шарнирно-подвижная - опора, позволяющая точке тела, которая связана с опорой, перемещаться без трения вдоль какой-либо поверхности. Реакция подвижной опоры направляется по нормали к поверхности, вдоль которой может перемещаться опора.

Связи и их реакции
Опора шарнирно неподвижная
(цилиндрический шарнир)

Опора защемляющая (жесткая заделка, консоль)

Формы элементов конструкций:
Брус - тело, два измерения которого невелики по сравнению с третьим (длиной)
Балка - брус, работающий на изгиб
Стержень - прямой брус, работающий на растяжение или сжатие

Примеры брусьев различной формы

Формы элементов конструкций:
Оболочка (пластина) - тело, одно измерение которого мало по сравнению с двумя другими

Массив
тело, все три измерения которого - величины одного порядка (строительный блок, шарик или ролик подшипника качения и т.д.)

ГИПОТЕЗЫ И ДОПУЩЕНИЯ,
ПРИНЯТЫЕ
В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

Материал однороден,
т. е. свойства любых сколь угодно малых его частиц совершенно тождественны.
Это допущение достаточно обосновано для металлокристаллических материалов, например, для стали,
и менее обосновано
для материалов
типа чугуна

2. Тело рассматривается как сплошная среда,
т.е. материал полностью заполняет весь объем тела без каких-либо пустот.
Представление о теле как о сплошной среде
дает возможность применять
методы анализа бесконечно малых величин
(дифференциальное и интегральное исчисления)

Материал изотропен,
т.е. физико-механические свойства его по всем направлениям одинаковы.
Материалы, не обладающие указанным свойством, называют анизотропными.

В известных пределах нагружения материал обладает идеальной упругостью,
т.е. после снятия нагрузки деформации полностью исчезают

5. Перемещения точек упругого тела
в известных пределах нагружения
прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.
«Ut tensio, sic vis» - «какова деформация, такова сила»
Роберт Гук

Роберт Гук 1635–1703

6. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях –
поперечные сечения,
плоские и нормальные к оси стержня
до приложения к нему нагрузки,
остаются плоскими и нормальными к его оси в деформированном состоянии;
при изгибе сечения поворачиваются, не искривляясь

7. Принцип Сен-Венана –
в сечениях, достаточно удаленных от
мест приложения нагрузки,
деформация тела
не зависит
от конкретного способа нагружения
и определяется только
статическим эквивалентом нагрузки

Адемар Жан-Клод Барре де СЕН-ВЕНАН
(1797 - 1886)

8. Принцип независимости действия сил
(принцип суперпозиции)-
результат воздействия нескольких внешних факторов
равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности,
и не зависит от последовательности их приложения

9. Принцип начальных размеров (гипотеза о малости деформаций) –
деформации в точках тела настолько малы по сравнению с размерами деформируемого тела, что не оказывают существенного влияния на
взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.
Допущение применяют при составлении
уравнений статики,
считая тело абсолютно твердым

Внутренние
силовые
факторы

Метод сечений - определение внутренних усилий путем составления уравнений равновесия любой отсеченной части тела

Внутренние силовые факторы – проекции главного вектора и главного момента внутренних сил на оси координат, привязанные к центру тяжести сечения

Напряжения
Напряжение механическое полное – мера интенсивности распределения внутренних сил.
Для любой точки А упругого тела равно:

Огюстен Луи Коши
1789 - 1857

Растяжение (сжатие) –
вид деформации, при котором из шести внутренних силовых факторов не равно нулю одно – продольное усилие N

РАСТЯЖЕНИЕ возникает, если противоположно направленные силы приложены вдоль
оси стержня.
Растягивающие продольные силы принято считать положительными,
сжимающие – отрицательными

Напряжения в поперечных сечениях бруса
При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения.
Равнодействующая соответствующих элементарных сил - продольная сила N - может быть найдена с помощью метода сечений.
Для того чтоб иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо установить закон их распределения по поперечному сечению бруса.
Эта задача решается на основе гипотезы плоских сечений (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит: сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.

Деформации при растяжении и сжатии
Закон Гука

Современное определение модуля Юнга
было дано в 1826 г.
за три года до смерти Юнга
французским инженером Навье

Томас Юнг (Янг)
(1773-1829)
английский физик,
механик, врач,
астроном и востоковед, один из создателей волновой теории света

Коэффициент Пуассона

Симеон Дени
ПУАССОН
(1781-1840)

Как показывает опыт, при растяжении бруска длина его увеличивается на величину Δl, ширина же уменьшается на величину
Относительная продольная дефор­мация равна
относительная поперечная деформация равна

Деформации стержня при растяжении-сжатии

Энергия деформации при растяжении

Те­орема Клапейрона
«Работа силы, статически приложенной к линей­но-деформируемой системе, равна половине произведе­ния конечного значения силы на конечное значение со­ответствующего перемещения»

Суммируя по всей длине стерж­ня, определяем
Для всей системы

Для стержня (участка стержня)
постоянного попе­речного сечения
при условии,
что продольная сила по длине стержня
не изменяется:

Бенуа Поль Эмиль
КЛАПЕЙРОН
(1799-1864)

Механические испытания материалов
Стандартные образцы для испытаний на растяжение:
а – образец круглого сечения; б – плоский образец; 1 – головка; 2 – рабочая часть

Учебная испытательная машина МИ-40КУ:
1 – станина; 2 – неподвижная траверса; 3 – образец; 4 – левая стойка;
5 – верхняя плита; 6 – правая стойка; 7 – подвижная траверса;
– пульт местного управления; 9 –захватно-опорные приспособления; 10 – вал

Диаграмма растяжения пластичного материала

Предел текучести –
напряжение, при котором рост деформаций
происходит без заметного увеличения нагрузки

Временное сопротивление σв
или предел прочности материала –
отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец,
к его начальной площади поперечного сечения

Истинное напряжение
в момент разрыва (в точке D):