Токи и напряжения в длинных линиях электропередач

При анализе режимов работы линий относительно небольшой длины (до 200км) и относительно невысокого номинального напряжения (до 220 кВ) можно пренебречь токами «смещения», обусловленными ёмкостями между проводами, и токами «утечки», обусловленными проводимостью изоляции и короной.
Режим работы таких линий можно рассматривать на основе их схем замещения с сосредоточенными параметрами.
При больших длинах линий, высоких напряжениях и частотах пренебрегать токами «смещения» и токами «утечки» нельзя.
Таким образом очевидно, что ток в проводах линий будет иметь разное значение в отдельных сечениях. Изменение тока вызовет изменение напряжения вдоль линии.

Чтобы учесть непрерывное изменение напряжения и тока вдоль линии нужно считать, что каждый бесконечно малый элемент длины линии обладает активным сопротивлением и индуктивностью, а между проводами активной проводимостью и ёмкостью.
Линия с распределёнными параметрами – линия, в которой ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки линии к другой.
Будем считать линию однородной, то есть допустим, что активное сопротивление, индуктивность, активная проводимость и ёмкость равномерно распределены вдоль линии.

Передача электроэнергии связана с распространением электромагнитных волн вдоль проводов линий. Можно считать, что скорость их распространения равна скорости света. Тогда при частоте 50 Гц длина волны равна
Длинную линию можно представить в виде большого количества элементарных участков длиной dl.
Обозначим мгновенные значения напряжения и тока в начале участка через u и i, а в начале следующего участка через

Схема замещения элементарного участка линии.

Запишем уравнения по 1 и 2 закону Кирхгофа:
Раскрывая скобки, приводя подобные, пренебрегая малыми величинами и сокращая на , получаем:
- телеграфные уравнения.
Решение в частных производных позволяет определить ток и напряжение в любой точке линии в зависимости от координаты и времени.

Если линия включена на синусоидальное напряжение, то от уравнений в частных производных можно перейти к уравнениям в простых производных:
Так как в каждое из уравнений входят обе неизвестные величины, то переменные удобно разделить, для этого первое уравнение продифференцируем по dl, а dI/dl возьмем из второго уравнения. Аналогично поступим со вторым выражением.

Введём обозначения:
Коэффициент распространения волны
где коэффициент затухания,
коэффициент фазы.
Волновая (электрическая) длинна линии:
Волновое сопротивление, Ом

Если не учитывать активные сопротивления и проводимость, то
Полученные ранее дифференциальные уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение уравнений запишется в виде:
Для определения А1 и А2 примем за основу режим тока и напряжения в начале линии. Тогда получим:
Подставим полученные выражения в исходное решение.

В полученных выражениях
- прямые волны;
- обратные волны.

Учитывая, что получим:
- уравнения по данным начала линии.
Аналогично можно вывести уравнения по данным конца: