Теплофизические свойства твердых тел

Лекция 1
Дифракция в кристаллах.
Обратная решетка.
Зоны Бриллюэна.
Форм-фактор.
Температурная зависимость линий отражения.

Векторные операции: скалярное и векторное произведение
Скалярное произведение – операция над двумя векторами, результатом
которой будет скаляр не зависящий от системы координат и характеризующий
длины векторов и угол между ними.

Векторные операции: скалярное и векторное произведение

eix=cos(x)+isin(x)

Градиентом скалярная функции называется векторная функция с компонентами.
Ротор векторного поля
дивергенция векторного поля, градиент

Ротор векторного поля
дивергенция векторного поля, градиент
rot (F) =▽xF
Curl

ФF – поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V.
Ротор векторного поля
дивергенция векторного поля, градиент

Точечные группы симметрии обозначаются в символе Германа — Могена поворотные оси симметрии обозначают арабскими цифрами — 1, 2, 3, 4 и 6. Инверсионные оси обозначают арабскими цифрами с чёрточкой сверху — 1, 3, 4 и 6.
При этом ось 2, которая является просто плоскостью симметрии, обозначается символом m (англ. mirror — зеркало).
Симметрия кристаллов. При некоторых геометрических
преобразованиях кристалл способен совмещаться с самим
собой, оставаясь неизменным (инвариантным
а) поворот; б) отражение; в) инверсия; ш) инверсионный поворот;
д) винтовой поворот; е) скользящее отражение
_
_
_
_

Решетки Браме: а – триклинная; б,в –моноклинные; г-ж – ромбические; з,и – тетрагональные; к – ромбоэдрическая; л – гексагональная; м-о – кубические.
а, б, г, з, к, м – примитивные; в, д, л – базоцентрированные; объемоцентрированные;
Гранецентрированные.

К каждой частице, находящейся в кристалле,
примыкает вплотную только определенное число
соседних частиц – координационное число
NaCl – ГЦК
CsCl – ОЦК
Na – ?

Дифракция фотонов, нейтронов и электронов
X-Ray: λ, ε=hf, где h – постоянная Планка=6.62*10-34 Дж*сек
Neutrons: длина волны де-Бройля λ, ε=h2/2MNλ2, где h – постоянная Планка=6.62*10-34 Дж*сек, MN=1.675*10-24 g
λ=1A при ε~0.08 эВ
Electrons: длина волны де-Бройля λ, ε=h2/2mλ2, где h – постоянная Планка=6.62*10-34 Дж*сек, m=0.911*10-27 g

Дифракция фотонов, нейтронов и электронов

Закон Брегга-Вульфа (1913)
Упругое рассеяние
Может ли быть рассеяние на видимом свете?
де-Бройля λ, ε=h2/2MNλ2, где h – постоянная Планка=6.62*10-34 Дж*сек, MN=1.675*10-24 g
λ=1A при ε~0.08 эВ

Обратная решетка

Фурье анализ периодических функций
Концентрация электронов в кристалле n(ρ)
где ρ - радиус вектор произвольной точки
кристалла.
Теорема: для произвольной функции, обладающей в решетке трансляционной
периодичностью, только те величины К в ряду Фурье являются векторами
обратной решетки G, которые определены соотношением
Запишем , где - трансляция
кристаллической решетки
Эта функция будет иметь
трансляционную периодичность
и будет равна n(ρ) если
или
Перепишем и
как

Законы сохранения при рассеянии

Построение Эвальда
Правила отбора

Примитивная ячейка Вигнера
– Зейтца
Зона Бриллюэна – ячейка В-З
в обратной решетке

ГЦК решетка
Примитивные базовые вектора ГЦК решетки; обратная решетка

Форм-фактор
Условия дифракции
Для отражения
можно обозначить отражение как (hkl) и его интенсивность
определяется плотностью электронных состояний, рассеивающих
волны. Вокруг j атома
и тогда общая плотность рассеивающих электронов
Атомный форм-фактор

eix=cos(x)+isin(x)

Атомный форм-фактор

Температурная зависимость линий отражения x-Ray

Пусть положение атома в момент времени t задано как:
Колебания случайные и независимые друг от друга
Тогда где G изменение волнового вектора при
отражении
Экспоненциальный множитель уменьшает интенсивность пика. Разложим
множитель в ряд
Но при этом можно учесть, что
Тогда фактор Дебая-Уоллера

Дифракция
Метод Лауэ
Метод вращения кристалла
Метод порошка
Атомный форм-фактор
Фактор Дебая-Уоллера
Упругое и неупругое рассеяние X-ray при нулевой температуре.