Уравнение состояния

План занятия.
1. Микропараметры и макропараметры.
2. Уравнение состояния идеального газа.
3. Давление газа на стенки сосуда.
4. Степени свободы сложной системы.
5. Закон равнораспределения энергии.
6. Примеры и задачи.

Основы молекулярно – кинетической теории
Микропараметры
Координаты
молекулы
Импульс
молекулы
x, y, z
p = mυ
Макропараметры
Давление
Температура
Объем
P
T
V
Задача статистической механики – выразить свойства системы в целом через характеристики отдельных молекул, т.е. перекинуть мост между макро – и микроскопическими описаниями системы.

Уравнение состояния идеального газа
Идеальный газ – газ, взаимодействием молекул которого можно пренебречь.
Соотношение, определяющее связь между параметрами состояния какого-либо тела, называется уравнением состояния
- некоторая функция параметров тела
T –Термодинамическая температура. Единица измерения - Кельвин (К)
Термодинамическая температура Т связана с температурой t по шкале Цельсия соотношением: Т = t + 273.15
Температура, равная 0К, называется абсолютным нулем температуры
F(p,V,T) = 0
F(p,V,T)
Идеальный газ – газ, взаимодействием молекул которого можно пренебречь.

Газовые законы
Закон Гей – Люссака
Закон Бойля – Мариотта
pV = const
Объем некоторой массы газа при постоянном давлении пропорционален его абсолютной температуре
При изотермическом процессе произведение объема данной массы на его давление постоянно.
Уравнение Клапейрона

Уравнение состояния идеального газа
Моли всех газов при одинаковых условиях (при одинаковых температуры и давлении) занимают одинаковый объем
Физические основы МКТ
При нормальных условиях (Т = 273 К и р = 105 Па) объем моля любого газа равен 22,4 ∙10-3 кг/моль
Когда количество газа равно одному молю, величина константы R в уравнении Клапейрона одинакова для всех газов pV/T = R
R =8.31Дж/моль∙К –универсальная газовая постоянная
Уравнение состояния идеального газа для 1 моля.

Уравнение Менделеева -Клапейрона
Умножим и разделим правую часть на число Авогадро NA
- Число молекул в газе массой m
Дж/К
-постоянная Больцмана
Уравнение состояния идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа.

Термодинамические параметры и процессы
Давление газа на стенки сосуда
Основным уравнением кинетической теории газов принято называть уравнение , устанавливающее связь между давлением газа, его объемом и энергией.
1. Давление газа на стенку не зависит от формы сосуда
2. Отражение молекул происходит по зеркальному закону;
3. Если газ находится в равновесии, все направления движения молекул равновероятны
Давление, оказываемое молекулами на стенку численно равно среднему значению силы, действующей на единицу площади стенки нормально к ее поверхности и возникает вследствие ударов о нее молекул.

Термодинамические параметры и процессы
Давление газа на стенки сосуда
Согласно второму закону Ньютона
Полное изменение импульса всех молекул, обладающих скоростью соударяющихся за 1 секунду с элемента поверхности
По третьему закону Ньютона молекула сообщает стенке при ударе импульс
Со стенкой соударяются только молекулы, движущиеся слева направо, т.е. 1/2

Термодинамические параметры и процессы
Давление газа на стенку сосуда
Тепловое движение молекул происходит совершенно беспорядочно, имеет место равновероятное распределение
по направлениям, поэтому
Окончательное выражение для давления газа на стенку сосуда:
Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газа
Давление равно двум третям энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.

Средняя энергия молекул.
Основное уравнение МКТ
Уравнение состояния идеального газа
Абсолютная температура есть величина прямо пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул

Степени свободы сложной системы.
Средняя энергия зависит только от температуры и не зависит от массы молекулы
Эта формула определяет энергию только поступательного движения молекулы
Наряду с поступательным движением возможны также вращение молекулы и колебания атомов, входящих в состав молекул.
Статистическая физика устанавливает закон о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы.
Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Обозначается i.

Число степеней свободы в молекулярной физике.
x
y
z
Одноатомная молекула.
i = 3
Двухатомная молекула i = 5
Ne , He , Ar
H2 , O2 , N2
Трех атомные и более i = 6
CO2 ,H2O, СH4
Три - поступательные
Три – поступательные
Две - вращательные
Три – поступательные
три - вращательные
С жесткой связью
С упругой связью i = 7 5 + (2 колебательных)
(Екинет + Епотенц )

Закон распределения энергии
На каждую степень свободы (поступательную, вращательную и колебательную) в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная ½ кТ
i - сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы
i = nпост + nвращ +2nколеб

Примеры и задачи
Задача 1
Сколько атомов водорода содержится в 50 г водяного пара?
Решение
Число Авогадро - число молекул в одном моле
NA
- Моль – количество газа
Задача 2
Найти массу одной молекулы аммиака
Решение
N – число молекул.
Для одной молекулы
Молярная масса аммиака

Примеры и задачи
Задача 3
Определить число n молекул воздуха в единице объема при температуре 00С и давлении 1,013∙105 Па.
Решение
Уравнение состояния идеального газа
Задача 4
Найти плотность ρ воздуха при температуре 00С и давлении 1,0∙105 Па . Молярная масса воздуха μ = 29∙10-3 кг/моль.
Решение
Уравнение состояния идеального газа

Примеры и задачи
Задача 5
Какое давление на стенки сосуда производят 0,02 кг кислорода, занимающего объем 0,2 м3 при температуре 400С?
Решение
Уравнение состояния идеального газа
t = 40 +273 =313 K
Молярная масса О2
Задача 6
В закрытом сосуде емкостью 2 м3 находится 1,4 кг азота (N2) и 2 кг кислорода (О2 ). Найти давление газовой смеси в сосуде, если температура смеси t = 270 C.
Решение
По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений

Примеры и задачи
Пример 1
В сосуде, закрытом поршнем, находится идеальный газ. График зависимости объема газа от температуры при изменения его состояния приведен на рисунке. Какому состоянию газа соответствует наибольшее давление?
Пример 2
Сравните объем данной массы идеального газа в состоянии 1 и 2.
Пример 3
Укажите точку, в которой достигалась наибольшая температура идеального газа в ходе процесса, график которого изображен на рисунке

Примеры и задачи
Пример 1
1
2
3
4
β
Т.4
Пример 2
Объем максимальный в т.2
Пример 3