Алгебра логики

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Первым попытался перевести законы мышления (формальную логику) из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, был немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (в 1666 г.).

Спустя более ста лет, в 1816 году, уже после смерти Лейбница, Джордж Буль подхватил его идею о создании логического универсального языка, подчиняющегося строгим математическим законам.

Джордж Буль родился в Линкольне (Англии). В 1849 году (в 34 года) он стал профессором Куинз-колледжа в Ирландии. Здесь же он женился на дочери профессора греческого языка Мери Эверест, которая помогала Булю в работе и оставила после его смерти интересные воспоминания о своем муже; она стала матерью четырех дочерей Буля, одна из которых, Этель Лилиан Буль, в в замужестве Войнич, - автор популярного романа «Овод».
Джордж Буль (2 ноября 1815 – 8 декабря 1864) по праву считается отцом математической логики.
Для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.

В ХХ столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления (цифры которой 0 и 1 также подходят для описание двух состояний: утверждение истинно - утверждение ложно, лампочка горит - лампочка не горит), заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.

Логические основы устройства компьютера

Базовые логические элементы
Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции:
Логический элемент «И»
Логический элемент «ИЛИ»
Логический элемент «НЕ»
Логические элементы оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы – значения элементов, на выходе появляется сигнал – значение логической функции.

Логический элемент «И»
На входы А и В логического элемента подаются два сигнала (00, 01, 10 или 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического умножения.
И
А (0, 0, 1, 1)
B (0, 1, 0, 1)
F (0, 0, 0, 1)
конъюнктор

Логический элемент «ИЛИ»
На входы А и В логического элемента подаются два сигнала (00, 01, 10 или 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического сложения.
ИЛИ
А (0, 0, 1, 1)
B (0, 1, 0, 1)
F (0, 1, 1, 1)
дизъюнктор

Логический элемент «НЕ»
На вход А логического элемента подаётся сигнал (0 или 1). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности инверсии.
НЕ
А (0, 1)
F (1, 0)
инвертор

Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.
Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера (АЛУ)

Примеры устройств компьютера, построенных на основе базовых логических элементов
Основной частью процессора являются:
Полусумматоры
Одноразрядные сумматоры
Многоразрядные сумматоры
Они позволяют выполнять все математические операции.

Важнейшей структурной единицей оперативной памяти, а также внутренних регистров процессора является триггер. Это устройство позволяет запоминать, хранить и считывать информацию (каждый триггер хранит 1 бит информации).

Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надежного запоминания одного разряда двоичного кода.
Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю

Самым простым его примером, не связанным с электроникой, является выключатель. У него тоже два устойчивых состояния – включено (вкл.) и отключено (откл.). Для триггера эти состояния будут звучать соответственно так – в единичном состоянии (вкл.) или сброшен (откл.)

1. Наполеон был французским императором.
2. Чему равно расстояние от Земли до Марса?
3. Внимание! Посмотрите направо.
4. Электрон – элементарная частица.
5. Не нарушайте правил дорожного движения!
6. Полярная звезда находится в созвездии малой медведицы.
7. Не все то золото, что блестит.
Из данных предложений выберите те, которые являются высказываниями, и обоснуйте свой выбор:

Какие из приведенных примеров являются
частными высказываниями, а какие общими?
1. Не все книги содержат полезную информацию.
2. Кошка является домашним животным.
3. Некоторые ученики двоечники.
4. Все ананасы приятны на вкус.
5. Многие растения обладают целебными свойствами.
6. Любой неразумный человек ходит на руках.
7. А – первая буква в алфавите.

1. Для того, чтобы число делилось на 4, … чтобы оно было четным.
2. Для того, чтобы число делилось на 3, … чтобы оно делилось на 9.
3. Для того, чтобы число делилось на 10, … чтобы оно оканчивалось нулем.
4. Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, … чтобы каждое из них равнялось нулю.
5. Для того, чтобы сумма двух чисел была четным числом, … чтобы каждое из этих чисел было четным числом.
6. Чтобы четырехугольник был квадратом, … чтобы все его стороны были равны.
В приведенных предложениях вместо многоточий поставьте по смыслу подходящие по смыслу слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». Помните, что получившиеся высказывания должны быть истинными.

Задание. Постройте отрицание для высказываний:
Все ребята умеют плавать.
Невозможно создать вечный двигатель.
Каждый человек – художник.
Человек все может.
Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».

Задания для учащихся:
1. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.
а) Число 376 четное и трехзначное.
б) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
в) Новый год мы встретим на даче либо на Красной площади.
г) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
д) Если 14 октября будет солнечным, то зима будет теплой.
е) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
ж) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.