Арифметические операции в различных системах счисления. Лекция 2

Сложение
одноразрядных двоичных чисел:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10
Пример
1101
+ 101
------
10010
Двоичная система счисления

Вычитание
одноразрядных двоичных чисел:
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
0 - 1 = (заем из старшего разряда) 1
1 - 1 = 0
Пример:
1110
- 101
----
1001
Двоичная система счисления

Двоичная система счисления
Умножение одноразрядных двоичных чисел:
0 * 0 = 0
1 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 1 = 1
Пример:
1110
* 10
------
+ 0000
1110
--------
11100

Двоичная система счисления
Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления:

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков:
сравниваются и выравниваются порядки;
выполняется сложение или вычитание мантиссы;
производится нормализация результата, если это нужно.

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков:
Пример. Сложение
Х1=0,1001*2101
Х2=0,1100*2100
1) Δр=101-100=001
Х2=0,0110*2101
2)0,1001
+0,0110
0,1111
3) Х1+ Х2=0,1111*2101

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков:
Пример. Вычитание
Х1=0,1001*2101
Х2=0,1100*2100
1) Δр=101-100=001
Х2=0,0110*2101
2) 0,1001 -0,0110
0,0011
3) Х1- Х2=0,0011*2101=0,11*211

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков:
Пример. Умножение
Х1=q1*2p1
Х2=q2*2p2
X1*X2=q1*q2*2(p1+p2)
Х1=10=0,10*210
Х2=10=0,10*210
0,10
*0,10 0 00
01 0
000____ р1+р2=10+10=100 X1*X2=0,0100*2100
0,0100

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков:
Пример. Деление
Х1=q1*2p1
Х2=q2*2p2
Х1=0,110=110*2-11
Х2=0,10=10*2-10
р1-р2=-11-(-10)=-01
=11*2-01

В ПК используются следующие разрядные сетки для представления чисел:
1 байт (8 разрядов) – полуслово
2 байта (16 разрядов) – слово
4 байта (32 разряда) – двоичное слово
8 байт (64 разряда) – расширенное слово
Для кодирования знака числа отводится специальный разряд, называемый знаковым. Под него отводится старший разряд разрядной сетки, «+» кодируется 0, «-» кодируется 1.
-310 = -112 в восьмиразрядной сетке будет иметь вид: 10000011

Выполнение арифметических операций в машинных кодах позволяет:
свести операцию вычитания к операции сложения
автоматически получать знак суммы
выявлять переполнение разрядной сетки

Виды машинных кодов
Прямой код числа представляется в виде абсолютной величины со знаком двоичного числа – это само двоичное число, в котором все цифры, изображающие его значение, записываются как в математической записи, а знак записывается в виде кода (0,1) в старшем разряде.
Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.
Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.

Виды машинных кодов
Обратный код отрицательного числа получается с помощью замены значений всех цифр числа на противоположные за исключением знакового разряда.
310 = 112 в прямом, дополнительном и обратном коде будет иметь вид – 00000011
-310 = -112 прямом коде будет иметь вид: 10000011
-310 = -112 обратном коде будет иметь вид: 11111100

Виды машинных кодов
Дополнительный код отрицательного числа получается в результате увеличения его обратного кода на 1.
-310 = -112 обратном коде
будет иметь вид: 11111100
-310 = -112 дополнительном коде
будет иметь вид: 11111101

Все математические операции в ПК выполняются только в обратных или дополнительных кодах.

Пример 1. Выполнение операции в обратном коде
Х1-Х2=17-5= 17+(-5)=12
[Х1] пр=00010001 [Х1] обр=00010001
[Х2] пр=10000101 [Х2] обр=11111010
При выполнении операций в обратном коде
единица, ушедшая за 8 разряд, прибавляется к младшему разряду числа.

Пример 2.
Х1-Х2=5-17= 5+(-17)=-12
[Х1] пр=00000101 [Х1] обр=00000101
[Х2] пр=10010001 [Х2] обр=11101110
00000101
[phone]
11110011 обр. 10001100= -12
Ответ всегда записывается в прямом коде.
Если в результате получилось отрицательное число, то его необходимо перевести в прямой код.

Пример 3. Выполнение операции в дополнительном коде
Х1-Х2=17-5= 17+(-5)=12
[Х1] пр=00010001 [Х1] обр=00010001 [Х1] доп=00010001
[Х2] пр=10000101 [Х2] обр=11111010 [Х2] доп=11111011
При выполнении операций в дополнительном коде
Единица, ушедшая за 8 разряд ВЫБРАСЫВАЕТСЯ.

Пример 4.
Х1-Х2=5-17= 5+(-17)=-12
[Х1] пр=00000101 [Х1] обр=00000101 [Х1] доп=00000101
[Х2] пр=10010001 [Х2] обр= 11101110 [Х2] доп= 11101111
Получили отрицательное число в доп. коде. Для перевода его в прямой код необходимо:
. Проинвертировать все разряды числа, за исключением знакового;
. Еще раз прибавить 1 к младшему разряду.

Модифицированный дополнительный машинный коды
Модифицированный дополнительный код получается из дополнительного простым дублированием знакового разряда. "00" соответствует знаку "+", "11" - знаку "-".
Любая другая комбинация ("01" или "10"), получившаяся в знаковых разрядах служит признаком переполнения разрядной сетки и получившийся результат – неверный.

Пример
Переведем X и Y в модифицированный дополнительный код:
Выполним сложение:
В данном примере запятой отделены знаковые разряды !!
Переполнения нет (в знаковых разрядах "00" – в результате получено положительное число), поэтому полученный результат - верный (X+Y=1111=41-26= 15).