fa54b9f67efa41a5bafd875dbb305eb7

Что такое система счисления?
Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.
Счёт на пальцах:
Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)
только натуральные числа
запись больших чисел – длинная (1 000 000?)

Египетская десятичная система
– 1
– 10
– 100
– 1000
– 10000
– 100000
– 1000000
черта
хомут
верёвка
лотос
палец
лягушка
человек
= ?
=1235
2014 = ?

Непозиционные системы счисления
Непозиционная система счисления: значение цифры не зависит от её места в записи числа.
унарная
египетская десятичная
римская
славянская
и другие…
«Пираты XX века»

Римская система счисления
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)
Спасская башня Московского Кремля

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех
одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644

Римская система счисления
MCDLXVII =
MMDCXLIV =
MMMCCLXXII =
CMXXVIII =

Римская система счисления
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =

Римская система счисления
только натуральные числа (дробные? отрицательные?)
для записи больших чисел нужно вводить новые цифры
сложно выполнять вычисления

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы Суздальского Кремля

Системы счисления
§ 10. Позиционные системы счисления

Система счисления. Определения.
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Формы записи чисел
6 3 7 5
3 2 1 0
разряды
5
70
300
= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100
6000
развёрнутая форма записи числа
Схема Горнера:
6 3 7 5 = ((6⋅10 + 3)⋅10 + 7)⋅10 + 5
для вычислений не нужно использовать возведение в степень
удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой

Двоичная система
Основание (количество цифр): 2
Алфавит: 0, 1
10 → 2
2 → 10
19
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

Метод подбора
10 → 2
77 = 64 +
77
77
64
Разложение по степеням двойки:
77 = 26 + 23 + 22 + 20
+ 8 + …
+ 4 + …
+ 1
77 = 10011012
6 5 4 3 2 1 0
разряды
наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
77 = 1⋅26 + 0⋅25 + 0⋅24 + 1⋅23 +1⋅22 +0⋅21 + 1⋅ 20
13
13
5
1
5
1
8
4
1

Перевод из двоичной в десятичную
10011012 = 26 + 23 + 22 + 20
6 5 4 3 2 1 0
разряды
= 64 + 8 + 4 + 1 = 77

Восьмеричная система счисления
Основание: 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 → 8
8 → 10
100
100 = 1448
1448
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
PDP-11, ДВК,
СМ ЭВМ, БЭСМ,
БК
20
16

Восьмеричная система счисления

Перевод в двоичную систему счисления
8
10
2
трудоёмко
2 действия
8 = 23
17258 =
1 7 2 5
001
111
010
1012
{
{
{
{

Перевод из двоичной в восьмеричную
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

11
Шестнадцатеричная система счисления
Основание: 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 → 16
16 → 10
444
444 = 1BC16
1BC16
2 1 0
разряды
= 1·162 + 11·161 + 12·160
= 256 + 176 + 12 = 444
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
С
B
C
B

Шестнадцатеричная система счисления

Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоёмко
2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{ 1111
0001
10102
{
{

Перевод из двоичной системы
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16
10010111011112