Логические основы ЭВМ

Основные понятия алгебры логики
Процессор выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. Поэтому для получения представления об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Для понимания принципа работы таких элементов начнем это знакомство с основных начальных понятий алгебры логики.

Second Page
Your Text here
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud exerci tation ullamcorper suscipit lobortis nisl ut aliquip ex ea commodo consequat.
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi.
Логика (др.греч. λογικος) – это наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения.
История логики насчитывает около двух с половиной тысячелетий. Первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель (384-322 гг. до н.э.) – древнегреческий философ, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.
Формальная логика отвлекается от конкретного содержания, изучает только истинность и ложность высказываний.

Second Page
Your Text here
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud exerci tation ullamcorper suscipit lobortis nisl ut aliquip ex ea commodo consequat.
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi.
Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
ДА
Жирафы летят на север.
ДА
История – интересный предмет.
НЕТ
У квадрата – 10 сторон и все разные.
ДА
Красиво!
НЕТ
В городе N живут 2 миллиона человек.
НЕТ
Который час?
НЕТ

Second Page
Your Text here
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud exerci tation ullamcorper suscipit lobortis nisl ut aliquip ex ea commodo consequat.
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi.
Солнце есть спутник Земли.
2+3>4
Сегодня отличная погода.
Санкт-Петербург расположен на Неве.
Музыка Баха слишком сложна.
Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек.
Железо — металл.
Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным.
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный.

Second Page
Your Text here
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud exerci tation ullamcorper suscipit lobortis nisl ut aliquip ex ea commodo consequat.
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi.
Алгебра логики – это математический аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями.
Алгебру логики называют булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля (1815-1864), разработавшего в XIXв. её основные положения.

Second Page
Your Text here
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud exerci tation ullamcorper suscipit lobortis nisl ut aliquip ex ea commodo consequat.
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi.
Обозначение высказываний
Высказывания обозначают латинскими буквами: A, B, X, Y.
A = Париж – столица Англии.
B = Число 11 является простым.
Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1).
Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и», «или», «не», «если … то», «тогда и только тогда» и др.
На улице хорошая погода, и дети пошли гулять.
Петя расскажет стихотворение, или Серёжа пойдет к доске.

Second Page
Your Text here
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat. Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud exerci tation ullamcorper suscipit lobortis nisl ut aliquip ex ea commodo consequat.
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et accumsan et iusto odio dignissim qui blandit praesent luptatum zzril delenit augue duis dolore te feugait nulla facilisi.
Логические выражения и логические операции
Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логических операций, в противном случае оно является сложным.
Основные логические операции

Таблицы истинности
Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений.
Таблица истинности определяет значение сложного высказывания при всех возможных значениях, входящих в него простых высказываний.
Количество строк в таблице истинности будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении (если число высказываний в логическом выражении N, то в таблице будет 2N строк).

Инверсия - логическое отрицание
Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
А= Земля вращается вокруг Солнца. (истина)
¬А = Земля не вращается вокруг Солнца. (ложь)
От лат. inversio - переворачиваю

Конъюнкция - логическое умножение
Результат логического умножения является истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
С= А & В
Учитель должен быть умным и справедливым.
А= Учитель должен быть умным.
В= Учитель должен быть справедливым.
A·B, A ∧ B
От лат. conjunctio - связываю

Дизъюнкция - логическое сложение
Результат логического сложения является истинным тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
A+B, A ∨ B
С= А + В
В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого.
А= В библиотеке можно взять книгу.
В= В библиотеке можно встретить знакомого.
От лат. disjunctio – различаю

Импликация - логическое следование
Результат логического следования является ложным тогда и только тогда, когда из истины следует ложь.
Если идёт дождь, то на улице сыро.
А= Идет дождь.
В= На улице сыро.
А → B
От лат. implicatio – тесно связывать

Эквивалентность - логическое равенство
Результат логического равенства является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.
А тогда и только тогда, когда В
День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом.
От лат. aeguivalens – равноценное

Домашнее задание
Выучить пять таблиц истинности с определениями логических операций.

Составление таблиц истинности по логической формуле

Постройте таблицу истинности для логического выражения
A·¬B
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1

Составление таблиц истинности по логической формуле
Постройте таблицу истинности для логического выражения
(A+¬B)·C
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ПО ТАБЛИЦЕ ИСТИННОСТИ

Условимся называть задачу построения таблицы истинности по формуле сложного высказывания – прямой задачей. Тогда обратная задача – построение логической формулы по таблице истинности. Полученную формулу будем записывать в виде логической функции.
Приведена таблица истинности для аргументов А, B, по которой надо составить логическое выражение F(A,B).

1. Выделить в таблице истинности строки, в которых выражение истинно (1);
✔
✔
Алгоритм нахождения искомой формулы:
Отмечаем
2. Соединить операцией И (умножение) содержимое столбцов аргумента для выбранных строк. При этом если в таблице «0», пишем входной сигнал с отрицанием, а если в таблице «1», то без отрицания.
Записываем
¬A·¬B
A·¬B
3. Соединить операцией ИЛИ (сложение) полученные выражения.
F(A,B)= ¬A·¬B + A·¬B
4. Упростить искомую формулу (по возможности).

Пример 2.
✔
✔
¬A·¬B·¬C
A·B·C
F(A, B, C) = ¬A·¬B·¬C + A·B·C

Пример 3.
✔
✔
¬ A · B
A · B
F(A, B) = ¬A·B + A· ¬ B + A·B
✔
A· ¬ B

Пример 4.
✔
✔
F(A, B, C) = ¬C
✔
✔

Пример 5.
✔
F(A, B) = A
✔

ЗАДАНИЯ ИЗ ГИА

Задания из ГИА
Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(X<3) & ((X<2) V (X>2))?
1) 1 2) 2 3)3 4)4
2. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(X<4) & (X>2) & (X<>2)?
1) 1 2) 2 3)3 4)4
3. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(X>4) & (X<7) & (X<6)?
1) 5 2)6 3)3 4)4
4. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение
(X>1) & (X>2) & (X≠3)?
1) 1 2) 2 3)3 4)4
5. Для какого из указанных значений числа X ложно выражение
(X > 2) ИЛИ НЕ (X > 1)?
1) 1 2) 2 3)3 4)4
6. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
(X < 3) & ¬(X < 2)?
1) 1 2) 2 3)3 4)4
7. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
(X > 2) & ( (X < 4) \/ (X > 4))?
1) 1 2) 2 3)3 4)4

Логические элементы и логические схемы компьютера.
Как при строительстве дома применяют различного рода типовые блоки: кирпичи, рамы, двери и т. п., так и при разработке компьютера используют типовые электронные схемы. Каждая схема состоит из определенного набора типовых электронных элементов.

Электронным элементом называется соединение различных деталей – в первую очередь, диодов и транзисторов, а также резисторов, конденсаторов, - в виде электрической схемы, выполняющей некоторую простейшую функцию.
Электронный элемент, реализующий логическую функцию, называется логическим вентилем.

Логические элементы компьютера
НЕ
И
ИЛИ
Инвертор
Конъюнктор
Дизъюнктор

Тысячи микроскопических электронных переключателей в кристалле интегральной схемы сгруппированы в системы, выполняющие логические операции, т. е. операции с предсказуемыми результатами и арифметические операции над двоичными числами. Соединенные в различные комбинации, логические вентили дают возможность компьютеру решать задачи, используя язык двоичных кодов.

Электронным элементом называется соединение различных деталей – в первую очередь, диодов и транзисторов, а также резисторов, конденсаторов, - в виде электрической схемы, выполняющей некоторую простейшую функцию.
Электронный элемент, реализующий логическую функцию, называется логическим вентилем.

Построение логических схем
Определить число логических переменных.
Определить количество базовых логических операций и их порядок.
Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.
Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Пример 1
Пусть X = истина, Y = ложь. Составить логическую схему для следующего логического выражения:
F = X+Y*X
Две переменные: X и У.
Две логические операции: X+Y*X.
Строим схему:
2 1
1
0
&
1
Ответ: 1+0*1=1.

Пример 2
Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F = X*Y+¬(Y+X).
Вычислить значения выражения для X=1, Y=0.

Постройте логические схемы:
F = A*(B+C)
F = ¬ B*(¬A*B+A)
F = D+A*B*C*(¬B+¬C)
F = (C*¬A)+¬(A*B+B*C)
F = A+B*¬C, если A=1, B=1, C=1
F = ¬(A+B*C), если A=0, B=1, C=1
F= ¬A+B*C, если A=1, B=0, C=1
F = (A+B)*(C+B), если A=0, B=1, C=0
F = ¬(A*B*C), если A=0, B=0, C=1
F = ¬(A*B*C)+(B*C+ ¬A), если A=1, B=1, C=0
F = B* ¬A+ ¬B*A, ЕСЛИ A=0, B=0
1
1
0
1
1
0
1

Постройте логическое выражение к логическим схемам: