Представление чисел в компьютере. Двоичная система счисления. Двоичная арифметика

Вспомним известное из курса 8 класса…
Система счисления – это правила записи чисел с помощью специальных знаков – цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Алфавит системы счисления – это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления – это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Непозиционные системы счисления
Непозиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа.
Примеры:
унарная
римская
славянская
и другие…
Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)
только натуральные числа
запись больших чисел –
длинная (1 000 000?)

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MCXLIV = 1000 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1144
MCXLIV =
2279 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C L X X I X
M M
CC
LXX
IX
I – 1
V – 5
X – 10
L – 50
C – 100
D – 500
M – 1000

Римская система счисления
MCDLXVII =
MMDCXLIV =
MMMCCLXXII =
CMXXVIII =
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =

Двоичная система счисления
Основание (количество цифр): 2
Алфавит: 0, 1
Вся информация в компьютере представлена в виде двоичного кода.
Компьютер переводит информацию (числовую, текстовую, графическую, звуковую, видео) в последовательность нулей и единиц.
То есть в компьютерах используется двоичная система счисления (СС).

Перевод из десятичной в двоичную
1-ый способ (путём деления десятичного числа на 2) Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.
Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Перевод из десятичной в двоичную
2-ой способ (с использованием степенного ряда числа 2)
Число разбивается на составные числа, взятые из степенного ряда двойки.
55
2. Присутствие числа записывается 1, отсутствие – 0
7310 = 64 + 8 + 1 = 10010012

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией
в записи числа.
Схема Горнера: 6 3 7 5 = ((6⋅10 + 3)⋅10 + 7)⋅10 + 5
Плюсы схемы:
для вычислений не нужно использовать возведение в степень;
удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой.
6 3 7 5
5
70
300
6000
3 2 1 0
разряды
= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100
развёрнутая форма записи числа
Определения

Перевод в десятичную систему
a3a2a1a0 = a3⋅p 3 + a2⋅p 2 + a1⋅p 1 + a0⋅p 0
Через развёрнутую запись:
Через схему Горнера:
12345 = 1⋅53 + 2⋅52 + 3⋅51 + 4⋅50 = 194
=1
разряды: 3 2 1 0
разряды: 3 2 1 0
a3a2a1a0 = ((a3⋅p + a2)⋅p + a1)⋅p + a0
12345 = ((1⋅5 + 2)⋅5 + 3)⋅5 + 4 = 194
основание системы счисления

Перевод в десятичную систему
=1
В двоичной СС основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.
1011 2 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20
Вернемся к нашему примеру и запишем число 110111
через развернутую форму:
разряды 6 5 4 3 2 1 0
10010012 = 1 * 26 + 0 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 +
+ 1 * 20 = 26 + 23 + 20 = 64 + 8 + 1 = 7310

Дробные числа
0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 + 7·0,001 + 5·0,0001
0, 6 3 7 5 = 6·10-1 + 3·10-2 + 7·10-3 + 5·10-4
Развёрнутая форма записи:
разряды: -1 -2 -3 -4
Схема Горнера:
0, 6375 = 10-1·(6 + 10-1·(3 + 10-1·(7 + 10-1·5)))
0, 1 2 3 45 = 1·5-1 + 2·5-2 + 3·5-3 + 4·5-4
0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4)))
перевод в десятичную систему
перевод в десятичную систему

Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0 1-0=1 102-1=1
перенос
заём
1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1
1
0
0
1
0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
1
∙
∙
0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0
1
1
1

Арифметические операции

Арифметические операции
умножение
деление
1 0 1 0 12
× 1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1
1 1 12
– 1 1 12
0