Представление чисел в компьютере. Математические основы информатики

Ключевые слова
разряд
беззнаковое представление целых чисел
представление целых чисел со знаком представление вещественных чисел

Ячейки памяти
Память компьютера состоит из ячеек, в свою очередь состоящих из некоторого числа однородных элементов.
Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов - разрядов двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом.

Используется несколько способов представления целых чисел, отличающихся количеством разрядов и наличием или отсутствием знакового разряда.
Представление целых чисел
Под целые отводится 8 разрядов:
Под целые числа отводится 16 разрядов:
Под целые числа отводится 32 разряда:
Знак
Число

Минимальное значение: во всех разрядах ячейки хранятся нули.
Максимальное значение: во всех разрядах ячейки хранятся единицы (2n–1).
Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел.
Беззнаковое представление

Пример 1. Число 5310 = 1101012 в восьмиразрядном представлении имеет вид:
Число 53 в шестнадцатиразрядном представлении имеет вид:
Представление чисел в памяти компьютера

Представление со знаком
При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды - под само число.
Диапазон представления чисел - 2 n-1≤ x ≤ 2n-1-1, где n - разрядность ячейки.
Минимальное значение: -2n-1.
Максимальное значение: 2n-1–1.
Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1.

Пример 2. Число 7310 = 10010012.
Прямой код числа 7310 в восьмиразрядном представлении имеет вид:
Прямой код
Прямой код числа -7310 в восьмиразрядном представлении имеет вид:
Прямой код используется главным образом для записи и выполнения операций с неотрицательными целыми числами. Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код.

Представление вещественных чисел
Любое вещественное число А может быть записано в нормальной (научной, экспоненциальной) форме:
А =±m × qp, где:
m - мантисса числа;
q - основание системы счисления;
p - порядок числа.
Пример. 472 000 000 может быть представлено так:
Запятая «плавает» по мантиссе.
Такое представление числа называется представлением в формате с плавающей запятой.
Бывают записи вида: 4.72Е+8.
4,72 × 108
47,2 × 107
472 × 106
4720 × 105

Число в формате с плавающей запятой может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда.
Числа в памяти компьютера
Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность - количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.
При этом выделяются разряды для хранения
знака порядка,
порядка,
знака мантиссы
и мантиссы.
Формат с плавающей запятой

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.
Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.
При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды - под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1.
Вещественные числа в компьютере хранятся в формате с плавающей запятой:
Самое главное
А = ±m × qp, где:
m - мантисса числа;
q - основание системы счисления;
p - порядок числа.

Вопросы и задания
Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?
Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью.
Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.
Представьте число 6310 в беззнаковом 8-разрядном формате.
Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:
а) 01001100;
б) 00010101.
Какие из чисел 4438, 1010102, 25610 можно сохранить в 8-разрядном формате?
Запишите следующие числа в естественной форме:
а) 0,3800456 · 102;
б) 0,245 · 10–3;
в) 1,256900Е+5;
г) 9,569120Е–3.
Запишите число 2010,010210 пятью различными способами в нормальной форме.
Запишите следующие числа в нормальной форме с нормализованной мантиссой - правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:
а) 217,93410;
б) 7532110;
в) 0,0010110.

Опорный конспект
Числа в компьютере
Целое число
Вещественное число
А = ±m×qp, где:
m - мантисса числа;
q - основание системы
счисления;
p - порядок числа.
Положительное
Отрицательное