Разбор задач ЕГЭ. Анализ программ с циклами и подпрограммами. В13

Задача 1.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 2,
2. умножь на 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая — увеличивает его в 3 раз.
Программа для Утроителя — это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 25?
Ответ обоснуйте.

Задача 1.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
Решение.
Такая задача решается графом, начиная с конца.
25 не делится на 3=> мы получили 25 из 23 командой 1.
23 не делится на 3=> мы получили 23 из 21 командой 1.
21 мы могли получить из 19 командой 1 или из 7 командой 2.
Рассуждая таким образом строим граф возможных вариантов, получаем 8 путей, 8 наборов команд, которыми можно из 1 получить 25.
Ответ 8

Задача 2.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
У исполнителя Арифметик две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. прибавь 3.
Первая из них увеличивает на 1 число на экране, вторая увеличивает это число на 3.
Программа для Арифметика — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые число 7 преобразуют в число 20?

Задача 2.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
Решение.
Конечно эту задачу тоже можно решить графом, но это не рационально. От перестановки слагаемых местами сумма не поменяется, но программы содержащие команды 1112221 и 1212211 считаются разными.
20-7=13 – сумма увеличится на 13. Максимальное количество команд -13(13 раз прибавили 1)
Минимальное количество команд 5(13:3=4 и 1 в остатке, т.е. потребуется 4 команды под номером 2 и одна команда под номером 1.
Число 13 нечётное, но сумма 2-х команд – четная! => нам потребуется нечетное количество команд, от 5 до 13:
5,7,9,11,13. Пусть n =m1+ m2– общее количество команд, где m1-количество команд №1, m2-количество команд №2. Тогда
справедлива формула:

Задача 2.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
Представим всё в виде таблицы:
Всего получим:5+35+36+11+1=88 команд(согласитесь, что граф получится слишком большой).
*Формула называется «Число перестановок c повторениями»
Ответ 88

Задача 3.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
У исполнителя Множик есть две команды:
1. умножь на 8,
2. подели на 2.
Первая из них увеличивает число на экране в 8 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза.
Программа для Множика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 512 с помощью программы, которая содержит ровно 8 команд?

Задача 3.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
Решение:
От перестановок множителей произведение не меняется, поэтому, подсчитав количество возможных программ, найдём количество разных чисел. Запишем все программы в виде набора команд, с точностью до перестановки:
Всего 9 разных команд без учёта
перестановок.
Ответ 9

Вопросы.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
У исполнителя Кузнечик две команды:
1.прибавь 7
2.вычти 5
Первая из них увеличивает число на экране на 7, вторая – уменьшает его на 5 (отрицательные числа допускаются). Программа для Кузнечика – это последовательность команд.
Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд?
Ответ 8

Вопросы.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1
2. умножь на 4
Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 55?
Указание. Решить графом.
Ответ 32

Вопросы.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 2
2. умножь на 2
Сколько есть программ, которые число 2 преобразуют в число 40?
Указание. Решить графом. Многие ветки графа будут повторяться.
Ответ 60

Вопросы.
ИНФОРМАТИКА
2014г. Кирсанов Илья Андреевич ©
У исполнителя четыре команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. сделай чётное,
3. сделай нечётное,
4. умножь на 10.
Первая из них увеличивает на 1 исходное число x, вторая умножает это число на 2, третья переводит число x в число 2x + 1, четвёртая умножает его на 10. Например, вторая команда переводит число 10 в число 20, а третья переводит число 10 в число 21. Программа для исполнителя — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 15?
Указание: решать графом.
Ответ 84