Системы счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Система счисления – принятый способ записи чисел.
В современном мире принята – десятичная система счисления.
Также используют
12-ричную систему (1 год – 12 месяцев, 1 фут – 12 дюймов), которая пришла с Древнего Востока.
60-ричную (1 час – 60 мин), которая пришла с Древнего Вавилона.

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Римская система
I – 1 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100
D – 500 M – 1000
I V = 4
XXX=30
Позиционная система счисления - система, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы

ПРИМЕРЫ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Положение, занимаемой цифрой при письменном обозначении числа называется разрядом.
1978,1 = 1*103+9*10 2+ 7*10 1+ 8*10 0 + 1*10 -1
весовые коэффициенты разрядов («веса»)
Любое число можно представить в развернутом виде:
Am-1*Pm-1+ Am-2*Pm-2 + …+A1*P1 + A0*P0 + A-1*P-1 +…+A-s*P-s
P – основание системы счисления
n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В РАЗНЫХ
СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
1101(2)= 1*23 + 1*22+0*21+ 1*20;
112(3)= l*32+ 1*31 +2*30;
341,5(8)=3*82+ 4*81 +1*80 +5*8-1;
A1F,4(16)= A*162 + 1*161 + F*160 + 4*16-1

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
КАК ПОРОЖДАЮТСЯ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ?
Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д.
Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0.
В двоичной системе, использующей только две цифры - 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 - замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.
Любое число можно представить в развернутом виде:
Am-1*Pm-1+ Am-2*Pm-2 + …+A1*P1 + A0*P0 + A-1*P-1 +…+A-s*P-s
1101(2)= 1*23 + 1*22+0*21+ 1*20=13(10);
112(3)= 1*32+ 1*31 +2*30=14(10);
341,5(8)=3*82+ 4*81 +1*80 +5*8-1=225,625(10);
A1F,4(16)= A*162 + 1*161 + F*160 + 4*16-1=2591,25(10)
1. Перевод целого числа из любой позиционной системы счисления в десятичную
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием «P»:
Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на «P» до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления «P» – записать в обратном порядке (снизу вверх).
2. Перевод целого числа из десятичной системы в любую другую позиционную систему
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Пример перевода целого числа из десятичной системы счисления в любую другую.
Переведем число 25(10) в двоичную систему счисления
Остаток
25 : 2 = 12 (1),
12 : 2 = 6 (0),
6 : 2 = 3 (0),
3 : 2 = 1 (1),
1 : 2 = 0 (1).
Таким образом, 25(10)=11001(2).

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием «P»:
Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части на «P» до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.
Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления «P» – записать в прямом порядке (сверху вниз).
3. Перевод дробного числа из десятичной системы в любую другую позиционную систему
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Переведем число 0,5625(10) в двоичную систему счисления
0,562510
0,5625*2=1,125
0,125*2=0,25
0,25*2=0,5
0,5*2=1,0
Таким образом, 0,5625 (10)=0,1001(2)
Пример перевода дробного числа из десятичной системы счисления в любую другую.

Правило перевода: необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
4. Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему.
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Правило перевода: число нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
5. Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную.
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ