Формулы для решения С2 координатно-векторным способом

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Н У Ж Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы
Векторное произведение 2 векторов
Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
Объем тетраэдра, построенного на 3 векторах
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

В Е К Т О Р Н О Е П Р О И З В Е Д Е Н И Е
M
3)
∙

У Р А В Н Е Н И Е П Л О С К О С Т И, П Р О Х О Д Я Щ Е Й Ч Е Р Е З 3 Т О Ч К И
M2(x2 ; у2 ; z2)
M1(x1 ; у1 ; z1)
M3(x3 ; у3 ; z3)

Объем параллелепипеда, построенного на 3 векторах
D

О Б Ъ Е М Т Е Т Р А Э Д Р А, П О С Т Р О Е Н Н О Г О на 3 векторах

У Р А В Н Е Н И Е П Р Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й через 2 точки
M1(x1 ; у1 ; z1)
M2(x2 ; у2 ; z2)
M(x ; у ; z)
M1
M2
M1
M
{x –x1; y –y1; z –z1}
=
=

У Г Л Ы
В П Р О С Т Р А Н С Т В Е
Угол между прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
α
Cos α =

У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М Ы М И
α
Cos α =
M1(x1 ; у1 ; z1)
a
M2(x2 ; у2 ; z2)
b
=
=
a

У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М О Й и П Л О С К О С Т Ь Ю
M2(x2 ; у2 ; z2)
b
=
=
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
α
α
β
=
=
b

Р А С С Т О Я Н И Е
В П Р О С Т Р А Н С Т В Е
Расстояние между 2 точками
Расстояние от точки до прямой
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние от точки до плоскости

Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У Д В У М Я Т О Ч К А М И
M1(x1 ; у1 ; z1)
M2(x2 ; у2 ; z2)

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й
M1(x1 ; у1 ; z1)
a
M2(x2 ; у2 ; z2)
=
h
1)
!

Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У С К Р Е Щ И В А Ю Щ И М И С Я П Р Я М Ы М И
b
=
=
a
M2(x2 ; у2 ; z2)
M1(x1 ; у1 ; z1)
=

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Л О С К О С Т И
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
M2(x2 ; у2 ; z2)
d

П Р И М Е Р Ы П Р И М Е Н Е Н И Я Ф О Р М У Л
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДВУМЯ СПОСОБАМИ

Найти векторное произведение векторов
и его модуль
и
=
=
=
=
+

СОСТАВИТЬ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ
3) 4(x-2) – 2(z-2) -2(y-2) -4(z-2) +1(x-2) +4(y-2) =0
5x + 2y -6z -2 = 0

Найти объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , если
=15 +4 + 6 + 12+2- 15 = 24

У Р А В Н Е Н И Е ПР Я М О Й, П Р О Х О Д Я Щ Е Й
Ч Е Р Е З 2 Т О Ч К И

Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Л О С К О С Т Я М И
x - 4y - z + 9 = 0
4x - 5y + 3z - 1 = 0
= 0,7
α = arccos 0,7

Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М Ы М И

2x+y-z +4 = 0
Н А Й Т И У Г О Л М Е Ж Д У П Р Я М О Й и П Л О С К О С Т Ь Ю

Н А Й Т И Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И до П Р Я М О Й

Р А С С Т О Я Н И Е М Е Ж Д У С К Р Е Щ И В А Ю Щ И М И С Я П Р Я М Ы М И
A(1;3;-1)
O(0;0;0)

Р А С С Т О Я Н И Е от Т О Ч К И M(3;1;-1) до
П Л О С К О С Т И 22x + 4y -20z-45 =0
d
M(3;1;-1)
22x + 4y -20z-45 =0

X
Y
Z
1) Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат.
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с катетом АВ = .
Найти расстояние от точки В до грани ASC, если вершина
пирамиды проектируется в середину ребра АВ и SA =
Определим координаты вершин
пирамиды.
2) Составим уравнение плоскости ACS
3) Найдем по формуле расстояние d от точки В до плоскости ACS
Ответ: d =4

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром АВ = 3 найти расстояние между диагоналями AB1 и BD
O
O1
О3
O2
O3
O2
A1
A
C
C 1
B2
D2
1) B2D2 II BD,
B2D2
A1C
A1C
BD
2) A1O2 = O2C1 =AO3 = O3C = 1,5
A1O = OO1 = O1C
=
3)

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром АВ = 3 найти расстояние между диагоналями AB1 и BD
X
Y
Z
1)
X
Y
B(0;0;0)
A(3;0;0)
C(0;3;0)
D(3;3;0)
2)
(0;0;3)
3)
4)
5)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 3,
а высота равна 6. Найти расстояние между медианой АМ боковой грани ASB и
ребром SD
М
OM II SD SD II (ACM)
1)
Проведем OP
SD
2)
P
OM II SD
OP
SD
3)
OP
OM