Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Устная работа
1. Дайте определение арифметической прогрессии.
2. Что называется разностью арифметической прогрессии?
3. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
4. Запишите формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Диктант
1. В арифметической прогрессии первый член равен 8, второй 4. Чему равна разность этой прогрессии?
2. Назовите третий член арифметической прогрессии, первый член которой равен 3, а второй 9.
3. Найдите четвёртый член арифметической прогрессии, если её первый член равен 12, а разность d = -2.

Диктант
5. Найдите сумму нечётных чисел от 1 до 23 включительно.
4. Найдите разность арифметической прогрессии, если а1= −3 и а6= 7.
6. Вставьте пропущенное число:
1) 4, 9, 14, 19,.?.
2) 3,.?., 13,…
3) 2, 6, 18, .?., 162, …

Диктант
5. Найдите сумму нечётных чисел от 1 до 23 включительно.
4. Найдите разность арифметической прогрессии, если а1= −3 и а6= 7.
6. Вставьте пропущенное число:
1) 4, 9, 14, 19,.?.
2) 3,.?., 13,…
3) 2, 6, 18, .?., 162, …

Ответы:
1. d = - 4
6. 1) 24
2) 8
3) 54
2. а3 = 15
3. a4 = 6
4. d = 2
5. S = 144

Формула n-го члена прогрессии
Пусть заданы а1 и d
а2=а1+d
a3=a2+d=a1+d+d=а1+2d
a4=a3+d=а1+3d
……………………………..
an=a1+(n-1)d
Пусть заданы b1 и q
b2= b1*q
b3= b2*q= b1*q*q=b1*q2
b4=b1*q3
…………………………………………….. bn= b1* qn-1
Чтобы задать
арифметическую геометрическую
прогрессию, достаточно……

Определение
Арифметической Геометрической
прогрессией
а1,а2,а3,…аn,.. b1,b2,b3,…bn,…
называется последовательность,
отличных от нуля чисел
каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему члену,
сложенному с одним
и тем же числом.
умноженному на одно
и то же число.

Определение
Числовая последовательность
а1,а2,а3,…аn,.. b1,b2,b3,…bn,…
называется
арифметической геометрической
если для всех натуральных n
выполняется равенство an+1= an+ d bn+1= bn* q

Вывод
d>0
арифметическая прогрессия возрастающая
d<0
арифметическая прогрессия убывающая
q > 1
геометрическая прогрессия возрастающая
0 < q < 1
геометрическая прогрессия убывающая

Формула n-го члена прогрессии
Пусть заданы а1 и d
а2=а1+d
a3=a2+d=a1+d+d=а1+2d
a4=a3+d=а1+3d
……………………………..
an=a1+(n-1)d
Пусть заданы b1 и q
b2= b1*q
b3= b2*q= b1*q*q=b1*q2
b4=b1*q3
…………………………………………….. bn= b1* qn-1
Чтобы задать
арифметическую геометрическую
прогрессию, достаточно указать её
первый член и первый член и
разность знаменатель

Определите вид прогрессии
В третьем тысячелетии високосными годами будут 2008, 2012 ,2016, 2020. В какой последовательности записаны года?
В искусственном водоеме 10 кг
водорослей. Через три дня их
стало 20 кг. Через шесть дней
– 40 кг, а через девять – 80 кг.
В какой последовательности
увеличивается масса
водорослей?

Составьте геометрическую прогрессию:
Ежедневно каждый болеющий гриппом
может заразить четырех окружающих.
1; 4; 16; 64;…
Дима на перемене съел булочку. Во время еды в
кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через
каждые 20 минут происходит деление бактерий (они
удваиваются).
30; 60; 120; 240;…
Каждый курильщик выкуривает в среднем
8 сигарет в сутки. После выкуривания одной
сигареты в легких оседает 0,0002 грамма
никотина и табачного дегтя. С каждой
последующей сигаретой это количество
увеличивается в два раза.
0,0002; 0,0004; 0,0008;…

Работа в тетрадях
Задание 1.
Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b1= 5 q = 3
Найти: b3 ; b5.
Решение: используя формулу bn = b1 q n-1
b3 =b1q2 = 5 . 32 =5 . 9=45
b5 =b1q4 = 5 . 34 =5 . 81=405
Ответ:45; 405.
Решение

Работа в тетрадях
Задание 2.
Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b4= 40 q = 2
Найти: b1.
Решение: используя формулу bn = b1 q n-1
b4 =b1q3 ; b1 = b4 : q3 =40:23 =40 :8=5
Ответ: 5.
Решение

Работа в тетрадях
Задание 3.
Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b1= -2, b4=-54.
Найти: q.
Решение: используя формулу bn = b1 q n-1
b4 =b1q3 ; -54=(-2) q3; q3= -54:(-2)=27;
q=3
Ответ: 3.
Решение

Математике должно учить в школе
ещё с той целью, чтобы познания,
здесь приобретаемые были
достаточными для обыкновенных
потребностей жизни.
И.Л.Лобачевский

Биология
Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320.
Легкая промышленность
Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой
клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было
6 клеток.
Физика
Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые?
Экология
Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?
5 инфузорий
6144 клетки
128; 64; 16
4 деления

Подготовка к ГИА
Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что
одна из этих последовательностей
не является ни геометрической, ни арифметической прогрессией.
Укажите её.
А. 1; 2; 3;…
Б. 1; 2; 4;…
В. 1; 4; 16;…
Г. 1; 4; 9;…

Подготовка к ГИА
Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что одна из этих последовательностей
не является геометрической
прогрессией. Укажите её.
А. -3; 1; ;…
Б. -3; -9; -27;…
В. -3; 5; -7;…
Г. -3; ; -1;…

Подготовка к ГИА
Последовательности (an), (bn), (cn)
заданы формулами n-го члена. Поставьте в соответствие каждой
последовательности верное утверждение.
ФОРМУЛА
А)
Б)
В)
УТВЕРЖДЕНИЕ
Последовательность –
арифметическая прогрессия
2) Последовательность –
геометрическая прогрессия
3) Последовательность не
является ни арифметической,
ни геометрической прогрессией

Домашнее задание
Придумайте или найдите задачи, позволяющие использовать геометрическую прогрессию; оформите их решение в тетрадь.

МАНГУСТ
Мангуст – пушистый зверёк, родина которого – Индия.
Длина тела ~ 50-60см. Даёт потомство 3 раза в год, в помёте в среднем по 4 детёныша.

4 детёныша
4 детёныша
4 детёныша
через год
1 пара=2 мангуста

Сколько будет детёнышей, если образовалось 6 пар и каждая пара даёт 12 детёнышей?
1–й год – 2 мангуста
2-й год – 12 детёнышей
3-й год – 72 детёныша!!!

Сколько детёнышей мангустов появится на 10-й год?
в10 = 20 155 392 детёныша